工程抗震辅导资料四

奥特曼

工程抗震辅导资料四

主    题：第三章 结构的地震响应与地震作用（第1—2节）
学习时间：2016年4月18日--4月24日
内    容：
这周我们将学习第三章中的第1—2节，这部分主要对结构地震反应分析进行总体介绍并具体讲解单自由度体系的弹性地震反应分析，下面整理出的框架供同学们学习，希望能够帮助大家更好的学习这部分知识。

一、学习要求
1、了解抗震设计的基本过程；
2、掌握作用与荷载的概念；
3、了解单自由度体系运动方程；

二、主要内容
（一）抗震设计的基本过程


（二）结构地震反应与地震作用
1、结构的地震反应
由地震动引起的结构内力、变形、位移、结构运动速度与加速度等统称为结构地震反应。结构的地震反应是一种动力反应，其大小（或振动幅值）不仅与地面运动有关，还与结构动力特性（如自振周期、振型和阻尼）有关，一般需要采用结构动力学方法进行分析才能得到。
2、地震作用
结构工程中所说的“作用”一词，是指能够引起结构内力、变形等反应的各种因素。按照引起结构反应方式的不用，可以分为直接作用与间接作用两种。
直接作用：各种荷载作用（如重力荷载、风荷载、土压力等）。
间接作用：各种非荷载作用（如温度、基础沉降等）。
结构地震反应是地震动通过结构惯性引起的，因此地震作用（即结构地震惯性力）是一种间接作用，而并不是荷载。

（三）结构体系的动力计算模型和自由度
1、结构体系的动力计算模型
进行结构地震反应分析的第一步就是确定结构动力计算简图。工程中通常采用集中化方法描述结构的质量，并以此确定结构动力计算简图。
采用集中质量方法确定结构动力计算简图时，需先定出结构质量集中的位置。可以取结构各个区域主要质量的质心位置为质量集中位置，将该区域主要质量集中在该点上，忽略其他次要质量或将次要质量合并到相邻主要质量上去。常见的结构动力计算简图如下图1所示。其中（a）（b）为单自由度体系，（c）（d）为多自由度体系。
        
（a）水塔                   （b）单层厂房
               
（c）烟囱                    （d）多、高层建筑
图1  结构动力计算简图
2、结构体系的自由度
确定结构各质点运动的独立参数为结构运动的体系自由度。空间的一个自由质点可以有三个独立位移，因此一个自由质点在空间有三个自由度。若限制质点在一个平面内运动，则一个自由质点有两个自由度。结构体系上的质点，由于受到结构构件的约束，其自由度数目可能小于自由质点的自由度数。
对于上图中所示的结构体系，当考虑结构的竖向约束作用而忽略质点竖向位移（即忽略柱的轴向变形），则各个质点在竖直平面内只有一个自由度，在空间里有两个自由度。

（四）单自由度体系的弹性地震反应
1、运动方程
下图2为单自由度体系在地震作用下的计算简图。图中质点质量为 ，刚度为 ，在地面运动 作用下，结构发生振动，产生相对地面的位移 、速度 和加速度 。若取质点 为隔离体，则该质点上作用力有三种力，即惯性力 、阻尼力 和弹性恢复力 。

图2  单自由度体系在地震作用下的变形与受力
惯性力是质点的质量 与绝对加速度 的乘积，但方向与质点运动加速度方向相反，即

阻尼力是由结构内摩擦及结构周围介质（如空气、水等）对结构运动的阻碍造成的，阻尼力的大小一般与结构运动速度有关。按照粘滞阻尼理论，阻尼力与质点速度成正比，但方向与质点运动速度相反，即

式中 ——阻尼系数。
弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位置的力，由结构弹性变形产生。根据虎克（Hooke）定理，该力的大小与质点偏离平衡位置的位移成正比，但方向相反，即

式中 ——体系刚度，即质点产生单位位移，需要在质点上施加的力。
根据达朗贝尔（D’Alembert）原理，质点在上述三个力作用下处于平衡，即

将上述惯性力、阻尼力及弹性恢复力的表达式带入上式整理，得到单自由度体系的运动方程，即

上式为一个常系数二阶非齐次线性微分方程。为了便于方程的求解，令：


则得到运动方程的另一种形式：

2、运动方程的解
（1）齐次方程的通解——自由振动
单自由度体系运动方程所对应的其次方程为 。这个方程所描述的是在没有外界激励的情况下结构体系的运动，即结构的自由振动。按照齐次常微分方程的求解方法，可以得到

式中——
时，体系不产生振动，称为过阻尼状态； 时，体系产生振动，称为欠阻尼状态； 时，体系不产生振动，称为临界阻尼状态。
与 相应的阻尼系数为 ，称之为临界阻尼系数，因此 也可以表达为：

故称 为临界阻尼比，简称阻尼比。
无阻尼单自由度体系自由振动为简谐周期振动，振动圆频率为 ，振动的周期为

由于结构的质量 与刚度 是结构固有的，因此无阻尼体系自振频率或周期也是体系固有的，称为固有频率与固有周期。同样可知， 为有阻尼单自由度体系的自振频率。一般结构的阻尼比很小，范围为 ，因此 。
（2）非齐次方程的特解——一般强迫振动
单自由度体系运动方程所对应的非其次方程为 。地震地面运动一般为不规则往复运动，在这种地震作用下，单自由度体系运动方程一般地面运动强迫振动的特解，成为杜哈密（Duhamel）积分，如下所示：

（3）方程的通解
根据线性常微分方程的理论可知，常系数二阶非齐次微分方程的通解是由齐次方程的通解与非齐次方程的特解共同构成，即如下图所示：

对于受到地震所用的单自由度运动体系，上式的意义为：
体系地震反应=自由振动+强迫振动
由前面的论述已知，体系的自由振动由体系初位移和初速度引起，而体系的强迫振动由地面运动引起。若体系无初位移和初速度，则体系地震反应中的自由振动项为零。另外，即使体系有初位移或初速度，由于体系有阻尼，则体系中的自由振动项也会很快衰减，一般可不考虑。因此，可仅仅取体系强迫振动项，即用杜哈密积分计算单自由度体系的地震位移反应。

三、典型习题
（一）简答题
1．简述结构中所说“作用”为哪几种，分别举例说明。
答：
“作用”是指能够引起结构内力、变形等反应的各种因素。按照引起结构反应方式的不用，可以分为直接作用与间接作用两种。
直接作用：各种荷载作用（如重力荷载、风荷载、土压力等）。
间接作用：各种非荷载作用（如温度、基础沉降等）

（二）计算题
1．已知一个水塔结构，可以简化为图1（a）的单自由度体系。 ， ，求该结构的自振周期。
解：
根据结构自振周期求解公式，并采用国际单位可得