工程抗震辅导资料七

奥特曼

工程抗震辅导资料七

主    题：第三章 结构的地震响应与地震作用（第5节）
学习时间：2016年5月9日--11月15日
内    容：
这周我们将学习第三章中的第5节，这部分主要介绍多自由度体系的地震作用与地震响应，下面整理出的框架供同学们学习，希望能够帮助大家更好的学习这部分知识。

一、学习要求
1、掌握振型分解反应谱法；
2、掌握底部剪力法。

二、主要内容
（一）振型分解反应谱法
1、一个有用的表达式
由于各阶振型 是相互独立的向量，则可将单位向量 表示成 ， ，…, 的线性组合，即

其中为 待定系数，为确定 ，将上式两边左乘 ，得

由上式解得

将上式带回 中，得到如下以后有用的表达式

2、质点 任意时刻的地震惯性力
对于多质点体系，由上节知识可得质点 任意时刻的水平相对位移反应为

式中： ——振型 在质点 处的振型位移。
则质点 在任意时刻的水平相对加速度反应为

由式子 ，可将水平地面加速度表达式写成

则可得质点 任意时刻的水平地震惯性力为




式中： ——质点 的第 振型水平地震惯性力。

3、质点 的第 振型水平地震作用
将质点 的第 振型水平地震作用定义为该阶振型最大惯性力，即

将式 代入上式得到

由于 是自振频率为 （或自振周期为 ）、阻尼比为 的单自由度体系的地震绝对加速度反应，则由地震反应谱的定义，可将质点 的第 振型水平地震作用表达为

进行结构抗震设计需采用设计谱，由地震影响系数设计谱与地震反应谱的关系式 ，可以得到

式中： ——质点 的重量；
——按体系第 阶周期计算的第 振型地震影响系数。
4、振型组合
由振型 各质点水平地震作用，按静力分析方法计算，可得体系振型 最大地震反应。记体系振型 某特定最大地震反应（即振型地震作用效应，如构件内力、楼层位移等）为 ，而该特定体系最大地震反应为 ，则可通过各振型反应 估计 ，此称为振型组合。
由于各振型最大反应不在同一时刻发生，因此直接由各振型最大反应叠加估计体系最大反应，结果会偏大。通过随机振动理论分析，得出采用平方和开方的方法（SRSS法）估计体系最大反应可获得较好的结果，即

采用振型分解反应谱法计算结构最大地震反应时，应注意采用正确的计算次序，即应先由振型地震作用计算振型地震反应，再由振型地震反应组合成总地震反应。
另外，经过计算得知，结构的低阶振型反应大于高阶振型反应，振型阶数越高，振型反应越小。因此，结构的总地震反应以低阶振型反应为主，而高阶振型反应对结构总地震反应的贡献较小。故求结构总地震反应时，不需要取结构全部振型反应进行组合。通过统计分析，振型反应的组合可按如下规定确定：
（1）一般情况下，可取结构前2-3阶振型反应进行组合，但不多于结构自由度数。
（2）当结构基本周期 时或建筑高宽比大于5时，可适当增加振型反应组合数。

（二）底部剪力法
1、计算假定
采用振型分解反应谱法计算结构地震反应精确度较高，一般情况下无法采用手算，必须通过计算机计算，且计算量较大。理论分析表明，当建筑物高度不超过40m，结构以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀时，结构的地震反应将以第一振型反应为主，而结构的第一振型接近直线。
为简化满足上述条件的结构地震反应计算，假定
（1）结构的地震反应以第一阶振型为主。
（2）结构的第一振型接近直线，呈线性到三角形，即任意质点的第一振型位移与其高度成正比

式中： ——比例常数；
——质点 离地面的高度。
2、底部剪力的计算
由上述假定，任意质点 的水平地震作用为

将 代入上式得

则结构底部剪力为

令

式中： ——结构等效总重力荷载。
则结构底部剪力的计算可以简化为

一般建筑各层重量和层高均大致相同，则有


因此可以求得

对单质点体系， ，上式计算结果为1。对于多质点体系， ，上式计算结果为0.75-0.9，建筑抗震设计规范将其定义为结构总重力荷载等效系数，并规定统一取0.85，即

3、地震作用分布
按式 求得结构的底部剪力即结构所受的总水平地震作用后，再将其分配至各质点上，得到计算公式如下

上式表达的地震作用分布实际仅考虑了第一振型地震作用。当结构基本周期较长，结构的高阶振型地震作用影响将不能忽略。为此，我国建筑抗震设计规范采用在结构顶部附加集中水平地震作用的方法考虑高阶振型的影响。规范规定，当结构基本周期 时，需要在结构顶部附加如下集中水平地震作用

式中： ——顶部附加水平地震作用；
——结构顶部附加地震作用系数，多层钢筋混凝土和钢结构房屋可按
下表1采用，其他房屋可采用0.0（2010版《建筑抗震设计规范》）。
表1  顶部附加地震作用系数






不考虑






当考虑高阶振型的影响时，结构的底部剪力仍然按照 计算而保持不变，但是各质点的地震作用需要按照 进行分布，即

4、鞭梢效应
底部剪力法适用于重量和刚度沿高度分布均比较均匀的结构。当建筑物有局部突出屋面的小建筑（如屋顶间、女儿墙、烟囱等）时，由于该部分结构的重量和刚度突然变小，将产生鞭梢效应，即局部突出小建筑的地震反应有加剧的现象。因此，当采用底部剪力法计算这类小建筑的地震作用时，按照前述式子计算的作用在小建筑物上的地震作用需要乘以增大系数，抗震规范规定该增大系数取为3。但是，应该注意鞭梢效应只对局部突出小建筑有影响，因此作用在小建筑上的地震作用向建筑主体传递时（或计算建筑主体的地震作用效应时），则不乘以增大系数。

三、典型习题
（一）简答题
1．简述底部剪力法的适用条件。
答：
建筑物高度不超过40m，结构以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀时，结构的地震反应将以第一振型反应为主。此时可以利用底部剪力法计算结构的在水平地震作用下的地震反应。

（二）计算题
1．图示钢筋混凝土框架结构的基本周期 ，抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组（ ）。通过计算已经求得相应于结构基本自振周期的水平地震影响系数值 ，试用底部剪力法计算多遇地震时的层间剪力。

解：
（1）计算结构等效总重力荷载代表值



（2）计算结构总水平地震作用

（3）计算顶部附加水平地震作用
故，不需考虑顶部附加水平地震作用，即 。
（4）计算各楼层水平地震作用（如下图所示）
根据公式 分别计算各楼层水平地震作用，如下：



（5）计算各楼层的层间地震剪力（如下图所示）