工程抗震辅导资料六

端木老师

工程抗震辅导资料六

主    题：第三章 结构的地震响应与地震作用（第4节）
学习时间：2016年5月2日--5月8日
内    容：
这周我们将学习第三章中的第4节，这部分主要介绍多自由度体系的地震反应分析，下面整理出的框架供同学们学习，希望能够帮助大家更好的学习这部分知识。

一、学习要求
1、熟悉多自由度体系的运动方程；
2、熟练掌握多自由度体系的自由振动；
3、掌握地震反应分析的振型分解法。

二、主要内容
（一）多自由度体系的运动方程
1、二自由度体系的运动方程

图1  二自由度体系的变形
对于上图1所示的二自由度体系，取质点1为隔离体，并对其进行受力分析，如图2所示。

图2  质点1的受力情况
图中： ——质点惯性力， ；
——弹性恢复力， ；
——阻尼力， ；
其中： ——使质点1产生单位位移而质点2保持不动，在质点1处所需施加
的水平力，如下图3所示；
——使质点2产生单位位移而质点1保持不动，在质点1处所需施加
的水平力；

图3   、 示意图
同理： ——使质点1产生单位速度而质点2保持不动，在质点1处产生的阻
尼力；
——使质点2产生单位速度而质点1保持不动，在质点1处产生的阻
尼力。
因此可知，质点1的平衡方程为：

同理可得，质点2的平衡方程为：

下图4为常用的二自由度体系简化图，对于这类图形，可按下述公式计算上式中的刚度系数和阻尼系数。
刚度系数：
阻尼系数：
图4  二自由度体系示意图
将上述二自由度体系的运动方程以矩阵的形式写出，则有：

式中： ——体系质量矩阵， ；
——体系阻尼矩阵， ；
——体系刚度矩阵， ；
——体系的相对水平位移向量， ；
——体系的相对水平速度向量， ；
——体系的相对水平加速度向量， ；
2、多自由度体系的运动方程
由二自由度体系的运动方程可以类推出多自由度体系的运动方程如下：

式中： ； ；
； ； ；

（二）多自由度体系的自由振动
1、二自由度体系的自由振动
研究自由振动时，不考虑阻尼的影响，此时体系不受外界作用，可令 ，则二自由度体系的自由振动方程为：

方程组的解为：

式中： 、 ——为质点1、2的位移幅值。
代入方程得：

因为上式有非零解，则下面的行列式为零。

由上式可以可解出 和 ，（ ）
其中： ——第一自振圆频率；
——第二自振圆频率。
2、多自由度体系的自由振动
对于多自由度体系，其自由振动方程为：

假设方程的解为： ，则有 。其将代入方程，得到：

因为 ，则要求：

上式实际是原来微分方程形式表达的多自由度体系自由振动方程得代数方程形式，称之为动力特征方程。
要得到 的非零解，则必须有

上式称为多自由度体系的动力特征方程。由于 、 均为常数矩阵，上式实际上是 的代数方程，将有 个解。将解由小到大排列，设为 。 为体系的一个自由振动圆频率。一个 个自由度的体系，有 个自振圆频率，即有 种自由振动方式或状态，称 为体系第 阶自振圆频率。
当多自由度体系以某一阶圆频率 自由振动时，将有一特定的振幅 与之相应，它们之间应满足动力特征方程

将反应体系自由振动形状的向量 称为振型。因为 与体系第 阶自振圆频率相对应，因此 也称为第 阶振型。
一般地，体系有多少自由度就有多少个频率，相应的就有多少个主振型，它们是体系的固有特征。

图5  三自由度体系结构各阶振型图
对于常见的三自由度体系，将各阶振型用图形表示，如图5所示。图中反应振型具有如下几个特征：对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点）。利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否。
3、主振型的正交性
结构在任一瞬时的位移等于惯性力作用下所产生的静位移。因此，主振型曲线可看作是体系按某一频率振动时，其上相应的惯性荷载所引起的静力变形曲线。
同时，根据功的互等定理，我们可以知道第一状态的力在第二状态的位移上所做的功等于第二状态的力在第一状态的位移上所做的功。

以上图所示的二自由度体系为例，可以得到：

整理得：

由于 ，则有：

将二自由度体系所得结果进行推广，我们可以得到多自由度体系主振型的正交性。
对质量正交：      
对刚度正交：      

（三）振型分解法
由振型的正交性可知， 相互独立，则体系地震位移反应向量 可表示成：

将上式代入多自由度体系一般有阻尼运动方程得到，

将上式左乘 得到，

上式中的质量矩阵 、刚度矩阵 的正交性是无条件的，为了使阻尼矩阵具有正交性，假设阻尼矩阵 ，则阻尼矩阵也具有正交性。
利用主振型的正交性原理，则上式可以简化为，

即：
式中： ； ； 。
上式与单自由度体系的运动方程相同。可见，原来 自由度体系的 维联立运动微分方程，被分解为 个独立的关于正则坐标的单自由度体系运动微分方程，各单自由度体系的自振频率为原多自由度体系的各阶频率，相应 为原体系各阶阻尼比，而 为原体系 阶振型参与系数。
由杜哈密积分，可得上的解为

其中：
是阻尼比为 、自振频率为 的单自由度体系的地震位移反应。
通过计算，我们可以得到多自由度体系地震位移反应的解

其中：
因 仅与体系的第 阶自振特性有关，故称 为体系的第 阶振型地震反应。由上式可知，多自由度体系的地震反应可通过分解为各阶振型地震反应求解，故称为振型分解法。

三、典型习题
（一）计算题
1．计算仅有两个自由度体系的自由振动频率。假设

解：
根据多自由度体系的动力特征方程 ，有

整理得

解方程得

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