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1．（12分）判断题：
（1） 系统状态变量选的不同，状态空间表达式也不同，求出的传函也不同
（2） 李雅谱诺夫函数是正定函数，李雅谱诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。
（3） 线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。
（4） 通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时可控和可观。
2．（18分）给定下列状态空间表达式
求系统的传递函数。
3．（15分）求下列状态空间表达式的解
初始状态 ，输入u(t)是单位阶跃函数。
4．（15分）确定使下列系统为状态完全能控和完全能观的待定常数b1,b2.
5．（15分）已知非线性系统状态方程
试证明在 时系统是大范围渐近稳定的。
6．（15分）设非线性系统状态方程为
试确定其平衡状态的稳定性。
7．（10分）已知系统
设状态变量x2不能测量取，试设计全维观测器，使观测器极点为-3，-3。
1．(12分)判断题：
（1） 同一个系统可能有多种不同的状态变量选取方法。
（2） 状态变量不一定在物理上可测量，有时只具有数学意义，而无任何物理意义。
（3） 对于单输入单输出系统，如果 存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观。
（4） 李雅谱诺夫第二法的判定定理中所述的条件都是充分条件。
2．（20分）设系统微分方程为
式中u为输入量，x为输出量。
（1） 设状态变量 ，请写出系统的状态方程。
（2） 设状态变换 ，请确定变换矩阵T及变换后的状态方程。
3．（10分）已知矩阵
用拉氏变换法求
4．（15分）求下列状态空间表达式的解
初始状态 ，求系统在单位阶跃输入作用下的响应。
5．（13分）系统的状态空间表达式为
求系统的传递函数并判断系统的能控性和能观性。
6．（15分）试用李雅谱诺夫第二法判断下列线性系统平衡状态的稳定性：
7．（15分）线性定常系统状态方程为
试设计全维状态观测器，使闭环极点位于 。
1．(12分) 判断题：
（1） 线性定常系统满足叠加原理，而非线性系统不满足叠加原理。
（2） 对于线性定常连续系统，可控性和可达性是等价的。
（3） 对于线性定常连续系统，经过非奇异线性变换后，其特征值、传递函数、可控性和可观性等性质均发生变化。
2．（15分）给定下列状态空间表达式
且 ，求在u(t)=1(t)作用下的状态方程的解。
3．（15分）已知一线性系统的状态转移矩阵为
求该系统的状态矩阵A。
4．（13分）系统的状态方程和输出方程为
试判断系统的可控性与可观性；
5．（15分）试用李雅谱诺夫第二法判断下列线性系统平衡状态的稳定性：
6．（15分）设有不稳定的线性定常系统 ，其中
。
能否通过状态反馈把系统的闭环极点配置在 及 处？若可能，试求出实现上述极点配置的反馈增益向量 。
7．（15分）设被控对象传递函数为
设计全维状态观测器，将极点配置在 。
模拟题一（答）
解：
（1）对（2）对（3）对（4）错
2.解：
G(s) =C(SI-A)^(-1) B
=[■(0&0&1)] [■(s&-1&0@2&s+3&0@1&-1&s+3)]^(-1) [■(0@1@2)]
=[■(0&0&1)][■(s+3@s(s+3)@(2s+1)(s+3))] 1/((s+1)(s+2)(s+3))
=(2s+1)/((s+2)(s+1)) 。
解：
G(s) =C(SI-A)^(-1) B
=[■(1&1)] [■(s&-1@6&s+5)]^(-1) [■(0@1)]
=(s+1)/(s+2)(s+3) .
〖 Q〗_c=[■(B&AB)],r(Q_c )=2; Q_o=[■(C@CA)],r(Q_o )=2,
综上可知，系统可控可观。
解：
〖 Q〗_c=[■(B&AB&A^2 B)]=[■(0&1&0@1&-1&-1@1&0&1)], r(Q_c )=3；系统完全可控。
Q_o=[■(C@CA@CA^2 )]=[■(0&0&1@0&-1&1@0&-2&1)],r(Q_o )=2；系统不完全可观。
解：
令x ̇_1=x ̇_2=0，得系统平衡点为(x_e1,x_e2)=(0 ,0)。
构造李雅普诺夫函数V(x)=x_1^2+x_2^2>0，则有：
V ̇(x)=2x_1 x ̇_1+2x_2 x ̇_2=2x_1 (-x_1+2x_2 )+2x_2 (2x_1-3x_2)
=-2(x_1-3/2 x_2 )^2-3/2 〖x_2〗^2<0.
当‖x‖→∞时，V(x)→∞.故系统在平衡点处大范围渐进稳定。
解：
∵ Q_c=[■(B&AB&A^2 B)]=[■(0&0&1@0&1&-3@1&-3&7)], r(Q_c )=3;
∴系统完全可控，可以实现任意极点配置
设状态反馈矩阵为：K=[■(k_1&k_2&k_3 )]，则有：
|SI-(A+BK)|=|■(s&-1&0@0&s&-1@k_1&k_2+2&s+3+k_3 )|
=s^3+(k_3+3) s^2+(k_2+2)s+k_1.
且期望的特征方程为：f^* (s)=[(s+1)^2+1](s+2)=s^3+4s^2+6s+4.
则可得：k_1=4; k_2=4; k_3=1.
即状态反馈矩阵为：K=[■(4&4&1)]^T。
解：
Q_c=[■(B&AB)]=[■(1&a+b@1&c+d)]，且|Q_c |≠0时系统完全可控；
Q_o=[■(C@CA)]=[■(1&0@a&b)]，且|Q_o |≠0时系统完全可观测。
综上可得：b≠0且c+d-a+b≠0时，系统完全可控可观测。
模拟题二（答）
解：
（1）错（2）对（3）对（4）对
解：
设：i_1=x_1,i_2=x_2,u_3=x_3，则有方程：
{█(R_1 x_1+L_1 x ̇_1+x_3=u@L_2 x ̇_2+R_2 x_2=x_3@x ̇_1=x_2+cx ̇_3 )┤⟹{█(〖x ̇_1=-R_1/L_1 x〗_1-1/L_1 x_3+1/L_1 u@x ̇_2=-R_2/L_2 +1/L_2 x_3@x ̇_3=〖-R_1/〖cL〗_1 x〗_1-1/〖cL〗_1 x_3+1/(cL_1 ) u-1/c x_2 )┤
则有：
x ̇=[■(-R_1/L_1 &0&-1/L_1 @0&-R_2/L_2 &1/L_2 @-R_1/〖cL〗_1 &-1/c&-1/〖cL〗_1 )]x+[■(1/L_1 @0@1/(cL_1 ))]u，y=[■(0&R_2&0)]x。
解：
e^At=L^(-1) [(SI-A)^(-1) ]=L^(-1) [[■(s&-1&0@0&s&0@-2&5&s-4)]^(-1) ]
=L^(-1) [■(1/s&1/s^2 &0@0&1/s&0@2/s(s-4) &(2-5s)/(s^2 (s-4) )&1/(s-4))]
=[■(1(t)&t&0@0&1(t)&0@1/2(e^4t-1)&(9(1-e^4t))/8-1/2 t&e^4t )]。
解：
系统的传递函数为：G(s)=(s+a)/((s+1)(s+3)(s+6))。
即当a=1,3,6时，系统传递函数出现零极点相消的情况，系统可能不可控或不客观。
解：
令x ̇_1=x ̇_2=0，得系统平衡点为(x_e1,x_e2)=(0 ,0)。
构造李雅普诺夫函数V(x)=x_1^2+x_2^2>0，则有：
V ̇(x)=2x_1 x ̇_1+2x_2 x ̇_2=2x_1 (-x_1+2x_2 )+2x_2 (2x_1-3x_2)
=-2(x_1-3/2 x_2 )^2-3/2 〖x_2〗^2<0.
当‖x‖→∞时，V(x)→∞.故系统在平衡点处大范围渐进稳定。
解：
∵ Q_c=[■(B&AB)]=[■(0&1@1&-1)], r(Q_c )=2;
∴系统完全可控，可以实现任意极点配置
设状态反馈矩阵为：K=[■(k_1&k_2 )]，则有：
|SI-(A+BK)|=s^2+(3-k_2 )s+2-k_1。
且期望的特征方程为：f^* (s)=s^2+6s+9。
则可得：k_1=-7; k_2=-3。
即状态反馈矩阵为：K=[-7-3]^T。
解：
Q_o=[■(C@CA)]=[■(1&0@0&1)]，rank(Q_o )=2，系统完全可观测，可以任意配置极点。
设反馈矩阵为：G=[■(g_1&g_2 )]^T
则有： f(s)= |SI-A+GC|=|■(s+g_1&-1@g_2&s)|=s^2+g_1 s+g_2
且期望特征方程为：f^* (s)=(s+4)(s+8)=s^2+12s+32
则可得：g_1=12,g_2=32.
全维观测器的方程为：
x ̂ ̇=(A-GC) x ̂+Gy+Bu=[■(-12&1@-32&0)] x ̂+[■(12@32)]y+[■(0@1)]u.
模拟题三（答）
解：
（1）错（2）对（3）对（4）对
解：
G(s) =C(SI-A)^(-1) B
=[■(1&0)] [■(s+2&-1@-1&s+2)]^(-1) [■(0@1)]
=[■(1&0)][■(2/((s+1)(s+3))&1/((s+1)(s+3))@1/((s+1)(s+3))&(s+2)/((s+1)(s+3)))][■(0@1)]
=1/((s+1)(s+3)) 。
解：
e^At=L^(-1) [(SI-A)^(-1) ]=L^(-1) [[■(s&-1@0&s)]^(-1) ]=[■(1(t)&t@0&1(t))]
x(t)=e^At x(0)+∫_0^t▒〖e^A(t-τ) Bu(τ)〗 dτ=[■(1/2 t^2+t+1@t+1)]
解：
Q_c=[■(B&AB&A^2 B)]=[■(1&2b_1&2b_1-8b_2@b_1&1-3b_1&-3b_1+14b_2@b_2&b_1-4b_2&1-4b_1+13b_2 )]
Q_o=[■(C@CA@CA^2 )]=[■(0&0&1@0&1&*@1&*&*)]
综上可得：当b_1=b_2=0时系统完全可控；
b_1,b_2为任意值时系统完全可观测。
解：
令x ̇_1=x ̇_2=0，得系统平衡点为(x_e1,x_e2)=(0 ,0)。
构造李雅普诺夫函数V(x)=1/2 a_1 x_1^2+1/2 x_2^2，则有：
V ̇(x)=a_1 x_1 x ̇_1+x_2 x ̇_2=a_1 x_1 x_2+x_2 (-a_1 x_2-a_2 x_1^2 x_2 )
=-a_2 〖x_1〗^2 〖x_2〗^2
a_1>0,V(x)正定；a_2>0,V ̇(x)负定，系统渐进稳定。
当‖x‖→∞时，V(x)→∞.故系统在平衡点处大范围渐进稳定。
解：
令x ̇_1=x ̇_2=0，得系统平衡点为(x_e1,x_e2)=(0 ,0)。
构造李雅普诺夫函数V(x)=x_1^2+x_2^2>0，则有：
V ̇(x)=2x_1 x ̇_1+2x_2 x ̇_2=2x_1 x_2+2x_2 [-x_1-a(1+x_2 )^2 x_2]
=-2a(1+〖x_2〗^2)〖x_2〗^2<0.
当‖x‖→∞时，V(x)→∞.故系统在平衡点处大范围渐进稳定。
解：
设反馈矩阵为：G=[■(g_1&g_2 )]^T
则有： f(s)= |SI-A+GC|=|■(s+g_1+2&-1@g_2&s+1)|
=s^2+(3+g_1 )s+g_1+g_2+2
且期望特征方程为：f^* (s)=s^2+6s+9
则可得：g_1=3,g_2=4.
全维观测器的方程为：
x ̂ ̇=(A-GC) x ̂+Gy+Bu=[■(-5&1@-4&-1)] x ̂+[■(3@4)]y+[■(0@1)]u.
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