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考试时间：90分钟
一. 填空（每空3分，共15分）
1. 的精确值为3.1415926......，取 的近似值x1 = 3.142，则x1有 位有效数字；取 的近似值x2 = 3.141，则x2有 位有效数字。
答案：四；三
解析：有效数字的定义。
2. 在区间[0, 2]上的插值型求积公式系数为 … ，则 …＋ ＝
。
答案：2
解析：拉格朗日插值基函数的性质。
3. 设ƒ(x)= lnx，取x1= 0，x2= 0.5，x3=1.5，x4=3，x5=4，在这些点上关于ƒ(x)的牛顿插值多项式为L4(x)，则ƒ(1.5) – L4(1.5) = 。
答案：0
解析：牛顿插值多项式的定义。
4．已知函数y = f (x)在点x1、x2和x3处的函数值为f(x1)=10 、f(x2)=15和f(x3)=13，用插值型求导公式的三点公式计算得 2.5，则 。
答案：2.5
解析：插值型求导公式的定义。
二.选择 （每空3分，共15分）
1．设ƒ(x)= sinx，取x1 = 0.32，x2 = 0.34，x3 = 0.36，x4 = 0.38，x5 = 0.40，用四次拉格朗日插值公式计算0.39处的近似函数值为L4 f (0.39)，计算时间为TL；用四次牛顿插值公式计算0.39处的近似函数值为N4 f (0.39)，计算时间为TN。从理论上分析，如果用相同的计算机计算，有下列结论成立：（1） ；（2） 。
（1）A. L4= N4 B. L4 N4
（2）A. TL < TN B. TL = TN C. TL > TN
答案：A；C
解析：拉格朗日插值和牛顿插值的区别。
2．通过 个点来构造多项式的插值问题称为抛物线插值。
A. 2 B. 3 C. 4
答案：B
解析：抛物线插值的定义。
3. 以下方程求根的数值计算方法中，收敛速度最快的是 ，收敛速度最慢的是
。
A. 简单迭代法 B.二分法 C. 牛顿迭代法 D. 割线法
答案：C；B
解析：方程求根数值计算方法的比较。
三. 用牛顿法求解非线性方程x(x+1)2 -1=0在x = 0.4附近的根,保留五位有效数字。（10分）
答案和评价标准：
牛顿迭代公式为：
（5分）
取初始值 ，迭代结果如下：
取 为方程的近似根。 （5分）
四.已知函数f (x)的数值表：（15分）
xn 1 3 5 7
yn -1 0 3 11
（1） 求各阶向前差分；
（2） 写出向前牛顿插值公式N3(x)；
（3） 计算f (4)的近似值。
答案和评价标准：
（1）写出差分表
xn yn 一阶差分 二阶差分 三阶差分
1 -1
3 0 1
5 3 3 2
7 11 8 5 3
所以 ， ， （5分）
（2）x=x0+th,4=1+ th，其中h =2,即t=1.5
N3(x)= + t + + （5分）
(3) f (4) N3(4) = -1 + 1.5 + 0.5*1.5*0.5*2 + (1/6)*1.5*0.5*(-0.5)*3
= 0.5 + 0.75 - 0.1875 = 1.0625 （5分）
五. 用数值法求解定积分 ，已知精确值 ：（15分）
（1）取h = 1/8，用复化梯形公式计算 ， 有几位有效数字？
（2）取h = 1/4，用复化辛普生公式计算 ， 有几位有效数字？
（3）计算 和 用到的 的函数值是否相同？比较 和 的值，可以得出什么结论？
答案和评价标准：
（1）h = 1/8，n=8，
有三位有效数字。 （5分）
（2）h = 1/4，n=4，
有七位有效数字。 （5分）
（3）计算 和 用到的 的函数值相同，计算量相近； 比 多四位有效数字，说明复化辛普生公式比复化梯形公式收敛更快（或 精度更高 或 误差更小）。 （5分）
六. 用数值法求解线性方程组：（15分）
（1） 写出雅可比迭代公式、雅可比迭代矩阵，判断雅可比迭代法是否收敛；
（2） 写出高斯-赛德尔迭代公式、高斯-赛德尔迭代矩阵，判断高斯-赛德尔迭代法是
否收敛；
（3） 若雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛，哪种方法收敛更快？为什么？
答案和评价标准：
（1）原方程组化为：
雅可比迭代公式为：（2分）
雅可比迭代矩阵为：（2分）
雅可比迭代矩阵 的范数 ，因此雅可比迭代法收敛（用 的最大特征值判断也可）；（2分）
（2）高斯-赛德尔迭代公式为：（2分）
高斯-赛德尔迭代矩阵为：（2分）
高斯-赛德尔迭代矩阵 的范数 ，因此高斯-赛德尔迭代法收敛（用 的最大特征值判断也可）；（2分）
（3）若雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛，高斯-赛德尔迭代法收敛更快；因为高斯-赛德尔迭代法在计算时充分利用了更新的计算结果 和 ，而雅可比迭代法用的是 和 ，从迭代公式中即可看出。（解释的意思对即可）（3分）
七. 用四阶龙格-库塔公式法解微分方程 ：（15分）
（1）取h = 0.2，计算 的值，保留七位有效数字；
（2）取h = 0.1，计算 的值，保留七位有效数字；
（3）忽略舍入误差，利用（1）和（2）的结果，估计 的误差。
答案和评价标准：
（1）h = 0.2
k1 = 0.1 , k2 = 1.01 10-3 , k3 = 1.0101 10-5 , k4 = -0.1
y(0.2) = 1.000068007 （4分）
（2）h = 0.1
k1 = 0.1 , k2 =0.0507525 , k3 = 0.05038128 , k4 =5.063511 10-4
y(0.1) = 1.005046232 （4分）
k1 = 5.071696 10-4 , k2 = -0.049743848 , k3 = -0.049871393 , k4 = -0.099999999
y(0.2) = 1.00006751 （4分）
（4） 估计误差 （3分）
= -3.312666 10-8
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