西电21秋《计算方法》课程模拟试卷四答案

青青

考试时间：90分钟

一. 选择（每题4分，共40分）
1. 设x* ＝ 1.732050808，取x＝1.73206，则x具有    位有效数字。
A. 3       B. 4      C. 5      D. 6
答案：C
解析：有效数字的概念。

2. 用选列主元的方法解线性方程组Ax＝b，是为了     。
A. 提高计算速度    B. 降低舍入误差    C. 简化计算步骤    D. 方便计算
答案：B
解析：列主元的概念和目的。

3. 通过    个点来构造多项式的插值问题称为线性插值。
A. 1     B. 2      C. 3      D. 4
答案：B
解析：线性插值的定义。

4. 以下方程求根的数值计算方法中，收敛速度最快的是     。
A. 二分法    B. 简单迭代法    C. 牛顿迭代法    D. 割线法
答案：C
解析：方程求根数值计算方法的比较。

5. 设b>a，在区间 上的插值型求积公式其系数为 ┅ ，则 ┅＋ ＝      。
A. 3(b-a)     B. 4(b-a)      C. b-a     D. b2-a2
答案：C
解析：拉格朗日插值基函数的性质。

6. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，若满足       ，则方程f(x)=0在区间[a, b]内一定有实根。
A. f(a)＋f(b)<0    B. f(a)＋f(b)>0    C. f(a)f(b) >0     D. f(a)f(b) <0
答案：D
解析：有根区间的判断方法。

7. 用于求解 的求积公式 是      。
A. 梯形公式    B. 辛卜生公式    C. 左矩形公式    D. 右矩形公式
答案：A
解析：梯形公式的定义和推导。

8. 设ƒ(x)= 5x3－3x2＋x＋6，取x1=0，x2=0.3，x3=0.6，x4=0.8，在这些点上关于ƒ(x)的插值多项式为P3(x)，则ƒ(0.9) - P3(0.9) =      。
A. 0.01     B. 0.001     C. 0     D. 0.00003
答案：C
解析：插值多项式的定义。

9. 已知x0＝2，f(x0)=46，x1＝4，f(x1)=88，则一阶差商f [x0, x1]为     。
A. 7     B. 20     C. 21     D. 42
答案：C
解析：差商的计算。

10. 用毫米刻度的直尺测量一长度为x*的物体，测得其长度的近似值为x = 1.94dm，则其误差上限为      mm。
A. 0.05     B. 0.5     C. 0.04    D. 0.4
答案：B
解析：误差的定义。

二. 利用秦九韶算法计算多项式 在x＝2处的值 p(2)。（8分）
答案和评分标准：
将所有多项式的系数按降幂排列，缺项系数看成零。
               （6分）
所以p(2) = -9。                                              （2分）  

三. 用割线法求方程 在x = 1.5附近的根，取x0=1.5, x1=1.4，最终结果保留5位有效数字。（8分）
答案和评分标准：
取初值x0 = 1.5，x1 = 1.4，割线法的迭代格式为：
                                        （4分）
按上式计算得：
                x2 = 1.33522
                x3 = 1.32541
                x4 = 1.32472
                x5 = 1.32472        
取x*  1.3247。                                                    （4分）

四. 用列主元高斯消去法解方程组：
      （8分）
答案和评分标准：
       （4分）
      再用“回代过程”可计算解：      
                                      （4分）

五. （10分）
(1). 已知x = 0, 2, 3, 5，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5，作三次牛顿插值多项式。
(2). 若给(1)已知的四个点再增加一个点x = 6，y = 6，作四次牛顿插值多项式。
答案和评分标准：
(1) 作差商表
x        y        一阶差商        二阶差商        三阶差商
0        1                       
2        3        1               
3        2        -1        -2/3       
5        5        3/2        5/6        3/10

                               （6分）
(2) 如已知x = 0, 2, 3, 5, 6时，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5, 6（即增加了一个点），作差商表
x        y        一阶差商        二阶差商        三阶差商        四阶差商
0        1                               
2        3        1                       
3        2        -1        -2/3               
5        5        3/2        5/6        3/10       
6        6        1        -1/6        -1/4        -11/120

四次牛顿插值多项式为
                               （4分）

六. （8分）
求 在 上的积分    , 已知

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(1)根据上述数据，写出复化梯形公式 的表达式并给出计算结果。
(2)由上述数据，写出复化辛卜生公式 的表达式并给出计算结果。
答案和评分标准：
(1)
（4分）
(2)
（4分）

七.  在区间[0, 0.8]上，取h = 0.1，用改进欧拉法求解初值问题。要求计算过程至少保留小数点后4位数字。（10分）
答案和评分标准：
用改进欧拉法计算公式如下：
                         
                                （6分）
        计算结果如下表：                                       （4分）


xn       
改进欧拉法yn
0        1
0.1        1.095909
0.2        1.184097
0.3        1.266201
0.4        1.343360
0.5        1.416402
0.6        1.485956
0.7        1.552514
0.8        1.616475

八. 设方程f(x) =0在区间[0，1]上有唯一实根，如果用二分法求该方程的近似根，试分析至少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。（8分）
答案和评分标准：
设方程的精确解为x*，任取近似根x (有根区间)[0,1]，   
则                                             （4分）

        所以至少要二分9次，才能保证近似根的绝对误差限是0.001。  （4分）