福师17春《实变函数》在线作业一二答案
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一、单选题：
1.闭集套定理的内容是：{Fk}是R^n中非空有界闭集的降列，则Fk对所有k取交集非空. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
2.存在上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等． (满分:2)
A. 错误
B. 正确
3.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
4.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
5.若fn测度收敛于f，g连续，则g(fn)也测度收敛于g(f). (满分:2)
A. 错误
B. 正确
二、多选题：
6.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
7.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
8.若f∈Lip,则f∈AC. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
9.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
10.若fn与gn分别测度收敛于f与g，且fn<=gn，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
11.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
12.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
13.若f可测，则|f|可测，反之也成立. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
三、判断题：
14.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
15.f在上为增函数，则f'(x)在上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
16.当f在上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
17.f,g∈M(X),则fg∈M(X). (满分:2)
A. 错误
B. 正确
18.若f∈L1,则几乎所有的x属于均是g的L点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
19.函数f在上为常数的充要条件是f在上绝对连续且在上几乎处处为零. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
20.若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
21.若A交B等于空集，则A可测时必B可测. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
22.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
23.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
24.连续函数和单调函数都是有界变差函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
25.集合A可测等价于该集合的特征函数XA可测 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
26.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim{n->+∞} n·M=0. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
27.f可积的充要条件是f+和f-都可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
28.增函数f在上几乎处处可微。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
29.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
30.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
31.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
32.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
33.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
34.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
35.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
36.若f广义R可积且f不变号，则f L可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
37.可数集的测度必为零，反之也成立. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
1.设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是上的 (满分:2)
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( ) (满分:2)
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
3.下列关系式中不成立的是( ) (满分:2)
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
4.有限个可数集的乘积集是( ) (满分:2)
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
5.开集减去闭集其差集是( ) (满分:2)
A. 闭集
B. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
1.若f∈BV，则( ) (满分:2)
A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
2.A，B是两个集合，则下列正确的是( ) (满分:2)
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
3.若f不可测，g可测，则下列正确的是( ) (满分:2)
A. f+g不可测
B. fg不可测
C. g^2可测
D. |g|可测
4.若f(x)为Lebesgue可积函数，则( ) (满分:2)
A. f可测
B. |f|可积
C. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
5.设f为上增函数，则f为( ) (满分:2)
A. 几乎处处可微
B. L可积
C. f'可积
D. 区间上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
6.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则( ) (满分:2)
A. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
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D. f不是可测函数
7.设f为上减函数，则f为( ) (满分:2)
A. 有界函数
B. 可测函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
8.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是 (满分:2)
A. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
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福师《实变函数》在线作业二
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一、单选题：
1.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
2.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
3.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
4.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
5.函数f在上为常数的充要条件是f在上绝对连续且在上几乎处处为零. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
二、多选题：
6.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
7.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
8.增函数f在上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
9.若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
10.f在上为增函数，则f的导数f'∈L1. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
11.f可积的充要条件:|f|可积。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
12.函数f在区间上Ｒ可积的充要条件是f在区间上的不连续点集为零测度集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
13.g的连续点是L点，但L点未必是连续点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
三、判断题：
14.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
15.设f是区间上的有界实函数，则f在上R可积，当且仅当f在上几乎处处连续. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
16.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
17.f在E上可积的充要条件是级数 M之和收敛. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
18.存在上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等． (满分:2)
A. 错误
B. 正确
19.闭集套定理的内容是：{Fk}是R^n中非空有界闭集的降列，则Fk对所有k取交集非空. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
20.连续函数和单调函数都是有界变差函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
21.集合A可测等价于该集合的特征函数XA可测 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
22.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax (满分:2)
A. 错误
B. 正确
23.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
24.设f为上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
25.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
26.可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集，但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
27.f可积的充要条件是f+和f-都可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
28.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
29.不存在这样的函数f：在区间上增且使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
30.若f∈C1（连续可微）,则f∈Lip，f∈AC. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
31.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
32.若f∈Lip,则f∈AC. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
33.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
34.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
35.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
36.存在某区间上增函数f，使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
37.若fn测度收敛于f，则1/fn也测度收敛于1/f. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
1.有限个可数集的乘积集是( ) (满分:2)
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( ) (满分:2)
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
3.在( )条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分:2)
A. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
4.设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是上的 (满分:2)
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
5.开集减去闭集其差集是( ) (满分:2)
A. 闭集
B. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
1.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上 (满分:2)
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
2.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则( ) (满分:2)
A. m(A)<m(B)
B. m(A)<=m(B)
C. m(B\A)=m(A)
D. m(B)=m(A)+m(B\A)
3.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则( ) (满分:2)
A. fn测度收敛于|f|
B. afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
4.若f,g是有界变差函数，则( ) (满分:2)
A. f+g有界变差函数
B. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f,g)有界变差函数
5.若f∈BV，则( ) (满分:2)
A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
6.A，B是两个集合，则下列正确的是( ) (满分:2)
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
7.设f为上减函数，则f为( ) (满分:2)
A. 有界函数
B. 可测函数
C. 有界变差函数
无忧工作室专业提供远程教育辅导QQ1647861640
D. 绝对连续函数
8.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则( ) (满分:2)
A. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
D. f不是可测函数
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