福师15秋《实变函数》在线作业答案
福师15秋《实变函数》在线作业一试卷总分：100 测试时间：--
一、判断题（共37道试题，共74分。）
1.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A. 错误B. 正确
满分：2分
2.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
3.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
4.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A. 错误
B. 正确
满分：2分
5.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A. 错误
B. 正确
满分：2分
6.若f∈Lip,则f∈AC.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
7.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
8.不存在这样的函数f：在区间上增且使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
满分：2分
9.存在上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A. 错误
B. 正确
满分：2分
10.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
11.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
12.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
13.设f为上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
14.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
15.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
16.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
17.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
18.函数f在上为常数的充要条件是f在上绝对连续且在上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
19.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
20.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
21.f在上为增函数，则f'(x)在上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
满分：2分
22.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A. 错误
B. 正确
满分：2分
23.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A. 错误
B. 正确
满分：2分
24.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
25.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
26.测度为零的集称为零测集.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
27.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
28.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
29.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
30.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
31.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
32.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A. 错误
B. 正确
满分：2分
33.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
34.可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
35.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
36.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
37.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
二、单选题（共5道试题，共10分。）
1.下列关系式中不成立的是（ ）
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
满分：2分
2.fn->f,a.e.,则
A. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|,a.e.
满分：2分
3.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
满分：2分
4.开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
B. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
满分：2分
5.有限个可数集的乘积集是（ ）
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
满分：2分
三、多选题（共8道试题，共16分。）
1.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A. m(A)<m(B)
B. m(A)<=m(B)
C. m(B\A)=m(A)
D. m(B)=m(A)+m(B\A)
满分：2分
2.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
D. f不是可测函数
满分：2分
3.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
满分：2分
4.若f∈AC，则（ ）
A. f∈C
B. f∈BV
C. f(x)=f(a)+∫axf '(t)dt
D. f∈Lip
满分：2分
5.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
满分：2分
6.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A. 广义R可积
B. 不是广义R可积
C. L可积
D. 不是L可积
满分：2分
7.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
C. 若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
满分：2分
8.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
满分：2分福师《实变函数》在线作业二
试卷总分：100 测试时间：--
一、判断题（共37道试题，共74分。）
1.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
2.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
3.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
4.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
5.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
6.测度为零的集称为零测集.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
7.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
8.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
9.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
10.不存在这样的函数f：在区间上增且使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
满分：2分
11.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A. 错误
B. 正确
满分：2分
12.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
13.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
14.f在上为增函数，则f的导数f'∈L1.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
15.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
17.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A. 错误
B. 正确
满分：2分
18.设f为上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
19.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
20.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
21.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
22.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A. 错误
B. 正确
满分：2分
23.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
24.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
25.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
26.增函数f在上几乎处处可微。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
27.零测度集的任何子集都是可测集.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
28.设f是区间上的有界实函数，则f在上R可积，当且仅当f在上几乎处处连续.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
29.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
30.若f∈BV,则f有界。
A. 错误
B. 正确
满分：2分
31.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
32.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
33.函数f在上为常数的充要条件是f在上绝对连续且在上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
34.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A. 错误
B. 正确
满分：2分
35.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
36.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
满分：2分
37.f为上减函数，则f'(x)在可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
满分：2分
二、单选题（共5道试题，共10分。）
1.开集减去闭集其差集是（ ）
A. 闭集
B. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
满分：2分
2.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
满分：2分
3.设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是上的
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
满分：2分
4.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A. |A∪C|=|B∪D|
B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
满分：2分
5.下列关系式中不成立的是（ ）
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
满分：2分
三、多选题（共8道试题，共16分。）
1.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
满分：2分
2.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A. 广义R可积
B. 不是广义R可积
C. L可积
D. 不是L可积
满分：2分
3.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A. fn测度收敛于|f|
B. afn+bgn测度收敛于af+bg
C. (fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
满分：2分
4.若f∈AC，则（ ）
A. f∈C
B. f∈BV
C. f(x)=f(a)+∫axf '(t)dt
D. f∈Lip
满分：2分
5.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A. m(A)<m(B)
B. m(A)<=m(B)
C. m(B\A)=m(A)
D. m(B)=m(A)+m(B\A)
满分：2分
6.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
满分：2分
7.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A. f可测
B. |f|可积
C. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
满分：2分
8.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
满分：2分
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