东师15秋《概率论与数理统计初步》期末作业考核答案
东师15秋《概率论与数理统计初步》期末作业考核满分100分
一、判断正误，在括号内打√或×（每小题2分，共20分）
（ ）1． 是取自总体 的样本，则 服从 分布；
（ ）2．设随机向量 的联合分布函数为 ，其边缘分布函数 是 ；
（ ）3．设 ， ， ，则 表示
；
（ ）4．若事件 与 相互独立，则 与 一定互斥；
（ ）5．对于任意两个事件 ，必有；
（ ）6．设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件 ={甲胜乙负}，则 为{甲负乙胜}；
（ ）7．设 表示3个事件，则 表示“ 三个事件都不发生”；
（ ）8．若 为两个事件，则必有 ；
（ ）9．设随机变量 和 的方差存在且不为零，若 成立，则 和 一定不相关；
（ ）10.设 ， 来自于总体的样本， 是 的无偏估计量；
二、填空题（每小题3分，共30分）
1．设 是3个随机事件，则事件“ 至少有一个发生”用 表示为 ；
2．设事件 与 相互独立，若已知 ， ，则 ；
3．事件 与 互不相容，且 ， ，则 = ；
4．设 ，且 ，则 ；
5．当 的数学期望 与 都存在时， 的方差定义为 ；
6．设二维离散型随机向量 的联合概率分布为 ，则 的边缘概率分布为 ；
7．设 是二维随机变量 的联合密度函数, 与 分别是关于 与 的边缘概率密度,且 与 相互独立,则有 ；
8．对于随机变量 ，仅知其 ， ，则由契比雪夫不等式可知
；
9．设 ， 与 相互独立， 是 的样本， 是 的样本，则 ；
10． 是总体 的简单随机样本的条件是：（1） ；（2） 。
三、计算题(每题5分，共35分)
1、已知随机变量 服从二项分布 ，且 ， ，试求二项分布的参数 ， 的值。
2、设 ，试求 的概率密度为 。
3、设连续型随机变量 的密度函数为 且 ，试求常数 和 。
4、当随机变量 服从普阿松分布时，试求 的值。
5、若随机变量 在区间 上服从均匀分布，试求方程 有实根的概率。
6、已知随机变量 ， ，且 与 相互独立，设随机变量 ，试求 的密度函数。
7、设 的联合密度函数为 ，
试求（1）常数 ；（2） 的边缘密度函数。
四、证明题 (共15分)
1、一个电子线路上电压表的读数 服从[ , +1]上的均匀分布，其中 是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设 是此电压表上读数的一组样本，试证明：(1)样本均值 不是 的无偏估计；(2)的矩估计是 的无偏估计。
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