吉大13秋《测量学》第十章、控制网课堂笔记
吉大13秋《测量学》第十章、控制网课程笔记 主要知识点掌握程度
掌握国家水平控制网的布设原则和方案，工程水平控制网的布设原则和方案，三角锁推算元素的精度估算，导线网的精度估算；了解测角仪器。
主要知识点整理
一、水平控制网的建立
（一）、国家水平控制网的布设原则和方案
1、布设原则
分级布网，逐级控制；一二三四等控制网
应有足够的精度；1958年，大地测量法式（草案），一、二、三、四等三角测量细则，一、二等基线测量细则。
1974年，国家三角测量和精密导线测量规范。
应有足够密度；
应有统一的规格。
2、布设方案
一等三角锁------骨干，沿经纬线布设，起算边，拉普拉斯方位角，锁长，平均边长，三角形个数，测角中误差。
二等三角锁、网------全面基础。
三、四等三角网------插网、插点。
3、我国天文大地网基本情况简介
我国疆域辽阔，地形复杂。除按上述方法布设大地网外，在特殊困难地区采用了相应的方法，在青藏高原困难地区，采用相应精度的一等精密导线代替一等三角锁；连接辽宁半岛和山东半岛的一等三角锁，布设了边长为113km的横跨渤海湾的大地四边形；卫星大地测量方法联测了南海诸岛，使这些岛也纳入到统一的国家大地坐标系中。
我国统一的国家大地控制网的布设工作开始于20世纪50年代初，60年代末基本完成，历时20多年。共布设一等三角锁401条，一等三角点6182个，构成121个一等锁环，锁长7.3万km。一等导线点312个，构成10个导线环，导线环总长约1万km。1982年完成了天文大地网整体平差，网中包括一等三角锁系，二等三角网，部分三等网，共48433个大地控制点，500条起始边和近1000个正反起始方位角的311198的方向观测值，1404条导线测距观测值。平差结果表明：网中离大地原点最远点的点位中误差为±0.9m，一等方向中误差为±0.46秒。采用条件联系数法和附有条件的间接观测平差法两种方案独立进行平差，两种方案平差后所得结果基本一致，坐标最大差为4.8cm。这充分说明我国天文大地网的精度较高，结果可靠。
（二）、工程水平控制网的布设原则和方案
城市测量规范；工程测量规范；地质矿产勘查测量规范
（三）、三角锁推算元素的精度估算
1、精度估算的方法
（1）、公式估算法
此法是针对某一类网形导出计算某种推算元素（通常是最弱边边长）的普遍公式。
分组平差
第一组条件式
第二组条件式
推算元素F是观测元素平差值的函数，其一般形式：
其线性式：
(2-1)
式中：
。。。
先按第一组条件式进行平差，求得第一次改正数，改化第二组条件式。设改化后的第二组条件式为：
则F的权倒数为：
(2-2)
F的中误差为：
(2-3)
为观测值单位权中误差。（一般按规范取值）
（2）、程序估算法
间接平差（或附有条件的间接平差）
起算数据（坐标）量取观测数据或程序估算法 →误差方程式A，单位权中误差，定权阵P组法方程式N→求协因数Q→列权函数式，并估算其精度
3、三角形单锁推算边长的精度估算
S0------起始边
S------推算边
A，B，C----角度观测值
①条件式
即
②法方程式
③S的函数式
同样， ；
④求权倒数
⑤中误差
⑥相对中误差
(2-4)
⑦边长对数中误差
利用微分公式
，
换成中误差的形式有：
， 以对数第六位为单位 (2-5)
(2-5)为边长对数中误差与边长相对中误差的关系。
⑧引入正弦对数每秒表差化简
(2-4)代入(2-5)得：
， (2-6)
对正弦对数微分
(2-8)
(2-6)式变为:
， (2-7)
⑨图形权倒数的概念
令 (2-9)
则(2-7)改写为
， (2-10)
化为方向中误差，利用
则(2-10)为
或
(2-11)
（2）、三角形最佳（理想）图形和最有用图形
提出问题，由边推算和两边的精度要相等（即B=C），同时推算边的中误差最小，就可得到三角形的最有利图形。
A=C,则B=180-2A,
令
为求的小值
Q
得:
这样的等腰三角形对推算边长的精度最为有利。
最佳（理想）图形------正三角形布设的锁网。
（3）、三角形（单）锁推算边长的中误差
(2-12)
（4）、例1，，不考虑起始边的误差，求。
（5）、例2，IV等锁，设 ，估算最弱边能否达到规范要求
①
②决定推算路线，求各三角形的R及
③求
④ （不能满足要求）
⑥例三，III等， ，估算最弱边的相对中误差。
二、导线网的精度估算
（一）、等边直伸导线的精度分析
一组符号： u------点位的横向中误差
t------点位的纵向中误差
M------点位中误差
D------端点下标
Z------中点下标
Q------起算数据误差影响的下标
C------测量误差影响的下标
1、附合导线经角度闭合差分配后的端点中误差
对于附合导线，由于角度经过配赋坐标方位角闭合差，角度的精度提高了，因此角度误差引起的导线的横向中误差也会减少，由于测边误差引起的导线端点纵向中误差
再考虑系统误差λ的影响，导线端点D由于测量误差C引起的纵向中误差
(2-31)
(2-32)
(2-33)
(2-34)
(2-35)
式中：n—边数，L—导线全长，S—平均边长，—测边中误差，λ—测边系统误差，—测角中误差，—AB边长的中误差，—起始方位角的中误差。
推导(2-32)式
设转折角的观测值为，真误差为，改正数为，经过坐标方位角配赋后为 ，其真误差为 ，坐标方位角条件
或 (1)
式中
当观测角是等精度，只考虑坐标方位角条件时，角度改正数
微分
(2)
当第一个转折角 有误差 ,其它转折角没有误差时，将使导线终点产生横向位移 ，
同样，(3)
……
由于 有真误差 将使导线终点产生横向位真误差
(4)
将(2-)代入(3)再代入(4)并将真误差换写成中误差，得横向中误差
(2-32)
2、附合导线平差后的各边方位角中误差
任意一条附合导线应满足三个条件,即坐标方位角条件、纵横坐标条件。采用两组平差，坐标方位角条件为第一组，将方位角闭合差分配至各转折角上，即完成第一组平差，然后改化第二组纵横坐标条件，有：
(2-36)
(2-37)
(2-38)
式中： v—角度第一次改正数；
—第二次改正数；
—角度观测值；
—边长改正数；
—已知方位角；
—第i点的重心坐标
(2-37),(2-38)为改化后的第二组条件式，其系数和常数项均用经过闭合差配赋后的角度值推算。
(2-37),(2-38)为改化后的第二组条件式，其系数和常数项均用经过闭合差配赋后的角度值推算。
下面仅就等边直伸导线的情况进行推算。
重心坐标系
重心坐标：
i点的重心坐标
(2-39)
(2-40)
(2-40)
(2-37)(2-38)化简为：
(2-41)
表中分别代测边、测角中误差，取单位权中误差，
(2-43),(2-44)
边 的方位角 (2-42)
这就是权函数式，其系数 ，其它各项为0。
按(2-2),
，
，
(2-45)
分析式（2-45）表2-7图2-18，四点结论。
（2-37)式推导：先一般导线，然后等边直伸导线。
，
对 ，微分，并 注意有
暂不考虑起始方位角误差，有
按 归类
设导线点重心坐标
在重心坐标系中，各点坐标
两组平差，方位角条件为第一组，纵横坐标条件为第二组。将方位角闭合差分配至各转折角上 (按(2)式)，即完成第一组平差，然后改化第二组条件，用改正后的角值求第二组条件式的系数和常数项。方位角条件维持原样，而纵横坐标条件中应是经第一次改化后转折角的改正数。由(2)式有：
改写式(5)：
为此纵坐标条件式为：
再考虑等边直伸导线及所选取的重心坐标系情况，
得(2-41)式。
3、附合（等边直伸）导线平差后中点的纵向中误差
导线第i+1点的纵坐标：
权函数式的系数为：
单位权中误差：
边长观测值的权也相等：
由表2-6
导线中点距端点有n/2条边，所以i=n/2,
再考虑系统误差，得导线中点因测量误差产生的中误差
4、附合（等边直伸）导线平差后中点的横向中误差
只有方位角误差对横坐标有影响，第i+1点距起始点有i条边权函数式
对方位角微分
因
将(2-42)式对 取微分有： 即：
求和 （2-49）
将(2-49)代入(2-48)得第i+1点横坐标的权函数式：
将权函数系数
填入表2-6，得到有关系数，进而得到(2-53)式。
5、起算数据误差对附合导线平差后中点点位的影响AB边长的误差对导线中点纵向误差产生的影响：
(2-54)
起始方位角误差对导线中点引起的横向误差：
(2-55)
附合导线平差后中点的点位中误差：
(2-56)
6、附合导线端点纵横向中误差与中点纵横向中误差比例关系
(2-57)
(2-58)
（二）、关于直伸导线的特点
导线的纵向误差完全是由测距误差产生的，而横向误差完全是由测角产生的。
（三）、单一附合导线的点位误差椭圆
（四）、导线网的精度估算
基于两点：
⑴、在一定的测量精度与平均边长的情况下，导线终点点位误差大致与导线长度成正式比。
⑵、等权代替法。
要估算任意导线网的精度，如今只能（最好）用电算试算。
随着电磁波测距的发展，导线作为布设城市、工程平面控制网的一种方法正在得到推广应用，改变了以往城市、工程四等和四等以上平面控制网仅用三角网一种形式的传统。电子计算机的普及解决了导线网设计中的精度估算和成果处理中的严密平差等实际问题。
1959年《城市测量规范》规定，一二级导线仅作为四等三角网以下的加密。
1978年《工程测量规范》对一二级导线的规定仍然如此。但当时许多测量单位已在进行代替四等三角网的所谓“精密导线”，因此该规范中有一条原则性的规定，“各等级三角网（锁）均可用相应精度的电磁波测距导线代替”，这就容许自行设计，并在实践中进行检验。经过几年来的实践和总结证明是可行的。
1985年修订完成的《城市测量规范》为城市各等级电磁波测距导线制订了具体的技术规定，见P.19表2-4。
1993年《工程测量规范》
1999年《城市测量规范》光电测距导线的主要技术要求与1985年修订完成的《城市测量规范》是一致的。
如果在测区内有足够的制高点可利用，通视良好，因而可以布设坚强的三角形图形时，以测角网、测边网或边角网的形式（或GPS网）来建立首级网还是比较合适的，导线网可以作为首级网下的加密部份。
（五）、任意边角网的点位误差的概念
1、三角网
⑴离已知点愈远，误差椭圆愈大；
⑵若以AB边的中点与各待定点连线方向为纵向，与其相垂直的方向为横向，则各待定误差椭圆的长轴大致在纵向上。
2、三边网
⑴离已知点愈远，误差椭圆愈大；
⑵各待定误差椭圆的长轴大致在横向上。
3、边角网
边角全测网的点位精度明显高于测角网或测边网。若满足边方向观测权的合理匹配 ，则可使边角网的点位误差椭圆接近于园。
4、任意边角网
加测部分边的三角网或加测部分方向的三边网
结论：
独立网在网形一定的情况下①点位误差同观测量的种类和它们在网中的分布有关，此外还同边方向观测权的匹配有关；②网的纵向误差主要由测边的误差引起，而横向误差主要由测方向的误差引起。
三、测角仪器
（一）、精密测角仪器的结构特点
三轴：视准轴、水平轴、垂直轴
我国仪器系列标准型号国外仪器型号、厂名
J1（北光）T3瑞士威特WILD
DKM3瑞士克恩KERN
NO3英国华兹WATTS
OT-02苏联
J2（北光、苏光、江光）T2瑞士威特WILD
Theo-010东德蔡司ZEISS
DKM2瑞士克恩KERN
Theo-2东德Freiberger厂
OTC苏联
TE-B3匈牙利MOM
1、望远镜
（1）、内对光。等效物镜焦距f
①用较短的复合物镜焦距，得到等效物镜焦距 f较大值。
视准轴：等效物镜光心与十字据丝中心的连线
②晃动------视差
③盲区4.6m(T3)
④平均边长3KM以上的三角网，如各目标与测站的距离相差1KM，在一测回的观测中，各目标不重新调焦是不会影响照准精度的。
， （3-3）
（2）、放大倍数V
望远镜的鑑别角
（3）、物镜的直径
2、水准器
（1）、水准器的精度主要由水准器的格值来衡量。
，
（2）、灵敏度
3、垂直轴
圆柱形滚珠轴承式轴或叫半运动式柱型轴。
4、度盘
长周期误差，短周期误差
（二）、光学经纬仪读数
J2光学经纬仪对径读数的规则：
旋进测微手轮，使度盘正倒像精确重合，
1、读度，找具备下列三个条件的分划线：⑴正倒像相差180度；⑵正像在左，倒像在右；⑶正倒像的对径（度）分划相距最近，以正像的（度）分划线为准读度数。
2、读十位分数，将正倒像相应的分划线间所夹的格数乘以度盘分划的一半（J2为10分），就是十位分数。
T3读分，将正倒像相应的分划线间所夹的格数乘以度盘分划的一半（T3为2分）。
3、在测微器（盘）读取个位的分数及秒数。
T3，将测微盘上两次读数相加，…。
J2 174°03′02.7″ 42°57′39.0″
T2 285°51′55.0″ 94°22′44.0″
010 129°25′47.5″
（三）、经纬仪的三轴误差
1、视准轴误差
（1）、产生原因
A、水平轴，竖盘位于H端。
B、OZ正确的视准轴所划出的垂直照准平面是。
C、当视准轴有误差C，并偏向于竖盘一端时（设此时为正，反之为负），视准轴所描绘的是一个园锥面。
D、当用正确的视准轴OZ瞄准目标P时，垂直照准平面就必需以OZ为轴（逆）转一个角度，就是视准轴误差C对水平方向观测值的影响。
（2）、求C与的关系。
以O为球心，OH为半径作单位球面，通过H点作一个大园弧，得直角球面三角形ZTP，按球面三角形正弦公式有：
由于 和C都是很小的角，可以 ，得：
(3-25)
（3）、视准轴误差对水平方向观测影响的规律
A、随目标垂直角的增大而增大，当 最小值。
B、由盘左和盘右的观测方向值求平均值，可以消除视准轴误差对水平方向观测的影响，而得到正确的方向值。
盘左 (3-26)
倒镜
盘右 (3-27)
取盘左、盘右读数的平均数可得到正确的读数
(3-28)
（4）、计算2C的作用
一测回中各观测方向2C互差的大小，在一定程度上反映了观测成果的质量。
2、水平轴倾斜误差
（1）、产生原因
（2）、水平轴倾斜误差对水平方向观测的影响
a仪器水平轴正确位置，视准轴OZ划出的是个垂直平面 。
b仪器水平轴倾斜了i角后的不正确位置，此时视准轴也跟着倾斜角i后在，它划出的是个倾斜平面 。
c以O为球心，OH为半径作单位球面。
d水平轴水平时，正确视准轴OZ照准目标P点时，视准面为OZPM，即在水平度盘上的正确读数为M。当倾斜了i角的视准轴OZ/照准目标P点时，视准面为，在水平度盘上相应的读数为 。就是水平轴倾斜误差对水平方向观测的影响。
求 的关系
取出直角球面三角形
由于 都是小角，所以有
(3-31)
上式就是水平轴倾斜误差对水平方向观测影响公式。
（3）、水平轴倾斜误差对水平方向观测影响规律
A、不仅与i有关，而且还与α有关。
B、由盘左和盘右的观测方向值求平均值，可以消除水平轴倾斜误差对水平方向观测的影响，而得到正确的方向值。
盘左，左低右高，(3-32)
盘右，左高右低，(3-34)
实际上，视准轴误差和水平轴倾斜误差同时存在，
(3-36)
设2C=2i=30″，有表3-1。
（4）、高低点测定i角
有：
对于高点，
对于低点， (3-37)
两式相加和相减分别得C角和i角。若测了n个测回
(3-39)
3、垂直轴偏斜误差
（1）、产生原因
（2）、垂直轴偏斜误差对水平方向观测值的影响
公式的第一步
A、垂直轴偏斜必然引起水平轴倾斜，当水平轴、垂直轴和铅垂线三者在一个平面时，水平轴倾量与垂直轴偏斜量V相等
B、由于水平轴倾斜量，从而使视准轴也偏离正确位置，使观测方向产生了的误差影响。
C、垂直轴偏斜误差对水平方向观测值的影响是通过水平轴倾斜量而表现出来的
(3-41)
水平轴倾斜量 是变化的
公式的最后形式
，(3-40)
代入式(3-41)得
， (3-42)
（3）、垂直轴偏斜误差对水平方向观测值影响的规律
系统性误差
（4）、削弱垂直轴偏斜误差对水平方向观测值影响的措施。
（四）、精密电子测角仪器
测量仪器总的发展过程，光学经纬仪——>电子经纬仪——>速测全站仪——> 全站仪。
全站仪的发展过程：
1.普通型全站仪
2.功能型全站仪
3.磁卡型的全站仪
4.内存式的全站仪
四个国家七大厂家：
瑞士，徕卡Leica
德国，蔡司Zeiss
日本，拓普康Topcon，索佳Sokkia，宾得,尼康
中国，南方
电子经纬仪的支架、轴系、望远镜和制动系统与光学经纬仪类同，但度盘及其读数系统完全不一样,有两种:编码度盘和光栅度盘。
1、编码度盘及其读数系统纯二进制编码度盘码道,码区。
光学传感器
为了提高编码度盘的角度分辨率，必须增加码道的数目，受光电器件尺寸的限制，有困难。必须采用电子测微技术
纯二进制编码的缺点，循环码(葛莱Cray编码)
2、光栅度盘及其测角原理
光栅，度盘光栅，固定光栅,莫尔干涉条纹，
（3-55）
（3-56）
如果两光栅的相对移动是沿x方向从 一条格线移到相邻的另一条格线 ，则干涉条纹将在y方向上移动一整周，即光强由暗到明,由明到暗变化一个周期,于是干涉条纹移动的总周数将等于所通过的格线数。反之，如果数出和记录光感器所接收的光强曲线总周数，便可测得移动量，再经过电信号转换，最后得到角度值。
原Wild厂，整体式电子速测仪Tc-2000
, 将角度测量转换为相位测量。
绝对式光栅度盘及其驱动系统，固定光栅探测器，活动光栅探测器，
光栅探测器 4个参考标志
（五）、方向观测法
1、观测方法
（1）、观测方法
（2）、重测和取舍观测成果应遵循的原则
（3）、记簿
2、测站限差的探讨
（1）、制定限差的基本步骤
观测结果的差值是表示在一定的外界条件下观测误差的大小，其中包括偶然误差和系统误差两部份。制定限差允许值的步骤为：
①确定偶然误差部份 。观测结果的差值是每一个方向观测值的函数，因此列出差值函数式，就可按误差传播定律，由每一方向观测值中误差 ，计算出观测方向值函数（即差值）的中误差。
②确定系统误差部份 。常常根据大量作业的观测资料进行分析研究，从中找出在正常情况下各检验项可能包括的系统误差的大小。
③差值的综合影响
④最后根据“极限误差等于两倍中误差”求出差值的限差。
（2）、一方向观测值（偶然）中误差 测定有两种方法：
第一种室内实验可得到近似结果具有一定的参考价值。
可在室内求得，例如在度盘每隔5度的位置,旋进测微轮，使上下分划线重合二次，分别读取读数，然后由两次读数的差数求出重合一次的读数中误差 。
经测定,
放大倍数 ，这样可得
由此可得
第二种从大量三角点的测站平差中求出各点的 ,然后取各点的带权平均值作为实际采用的 ,目前采用
（3）、半测回归零差
①偶然误差部份
函数式
得
②系统误差部份，主要仪器基座扭转等系统误差，假定为
（规范规定）
（4）、一测回内2C互差的限差
②系统误差部份，主要包括视准轴误差，水平轴倾斜误差，基座位移以及外界因素引起的。
规范规定：
又规定，当时，该方向的2C可不与其它方向进行比较，而是测回间该方向的2C单独进行比较。所以
视准轴部份
水平轴倾斜部份
基座位移部份约
（规范规定）
（5）、同一方向测回互差的限差
①偶然误差部份
②系统误差部份，主要包括水平度盘分划误差大约1～2秒；测微器分划误差很小；外界条件变化（旁折光），不好定。
原规范规定
74年规范规定
这样放宽好处有三：
I、放宽测回互差的限差，由测站平差求得的测角中误差或方向中误差略有增大，这是可以预料的，但方向中误差的增大不表明观测成果精度降低；相反，由于适当放宽测回互差的限差，在各种情况观测的结果就有可能充分反映到最后成果中，使系统误差消除得较好。
II、衡量测角成果精度比较可靠的标准是由三角形闭合差计算的测角中误差和极条件的自由项。
III、放宽测回互差的限差，重测数显著减少，可以大大减少重测工作量，而成果精度不受影响。
3、测站平差
（1）、三角测量中的一个基本问题
（2）、各方向测站平差值的计算
设在K测站用方向观测法对N个方向观测了M个测回，各测回的方向值列表3-10
①确定未知数
N个方向有（N-1）个未知数：x,y,…,t
每一个测回有一个定向角未知数：
共有M+（N-1）未知数。
②列出误差方程式
代表第i测回各方向，观测值的改正数，第i测回误差方程式：
(3-60)
③组成法方程式
共m个 (3-61)
共n-1个 (3-62)
④解法方程式
由(3-61)式， (3-63)
求和 ， (3-64)
由表3-10可知：
将(3-64)代入(3-62)消去，如代入第一式
，合并x项即有：
(3-65)
将(3-65)各式相加，未知数前系数：
常数项:
故有：
(3-66)
将(3-66)分别与(3-65)各式相加，得
即：
(3-67),(3-68)
由此得出结论：
①取各测回归零方向的平均值，即得各方向的测站平差值。
②由于A，B，….，N之间是独立的，所以可以把A，B，….，N作为独立观测值参加三角锁网的平差。
③如果各测回各方向的观测权相等，则经测站平差后的权也相等，因此由任意两方向所组成的角之权也相等。这样的一组方向叫等权完全方向组，这样的观测方法叫等权完全方向组观测。
(3-76)
(3-77)
由于 ，所以
(3-78)
④经测站平差后，n个方向成(n-1)个角度，与没有任何多余观测的情况相当所以不能产生测站条件。因而，三角锁网严密平差时，可将测站平差后的方向值作为独立观测值进行平差，锁网的平差与测站平差可以分开，使锁网的平差简化，而无损平差的严密性。
说明：补测，重测，分组观测，全园方向观测，II等以下。
（3）、一测回方向值中误差μ和m个测回方向中误差M的（近似）计算公式:
对于某一方向i观测了m次，则每一次观测值都有一个改正数δ，按彼得公式得一次观测的平均误差：
(i=1,2,…,n)
将n个方向取平均，并用第一次偏差v代替改正数δ得
第一次偏差：
(i=1,2,…,n)
由中误差与平均误差的关系 得
(3-69)
其中 可根据m预先算出。
m测回方向值中数的中误差为:
(3-70)
（六）、分组方向观测法
当方向数多于6个时可考虑分为两组观测，两组都要联测两个共同的方向，其中（最好）有一个共同的零（起始）方向。
1、联测角的限差
设两组观测时两个共同方向以i,j表示
第一组联测角值
第二组联测角值
两组联测角的差为
如果的测角中误差分别为，则
（3-71）
如果 则 （3-72）
，
说明：(3-71)适用于联测。
2、分组观测的测站平差
第一组联测方向的方向值为相应的改正数为
第二组联测方向的方向值为相应的改正数为
条件式
(3-73)
法方程式并解之
例1
例2
3、联测两个高等（固定）方向时的测站平差
条件式
组成法方程并解之
改正数 联测方向平差值
例3
例4
（七）、全组合测角法
1、什么叫全组合测角法
(3-79)
1850年高斯创用，1870年史赖伯提出了全组合测角法所遵循的第一个要求：各测站的m×n应近似地相等且为一常数，这样方向少的测站应增多各角的测回数，方向多的测站应比例地减少各角的测回数，以达到各测站平差后方向之权近似一致；第二个要求：在同一度盘位置上所测的各角不许有相重的方向。------史赖伯（全组合）测角法。
2、如何确定测回数
后面将证明，以每个角度观测一测回的权为1，如每个角度观测了m个测回。则测站平差后每个方向的权为
(3-80)
规范规定，用T3测一等三角点，，这样
3、度盘位置的编制
3、测站平差与精度评定
设n=4,每个单角都观测了m个测回，由m个测回取中数，得
（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）
假定每个角度观测一个测回的权为1，由于各个角度是取m个测回的中数作为观测值参加测站平差的，因此每个角度的权为m,权阵为：
(1)
若取未知数
则误差方程式
（2）
式中：
组成法方程式
（3）
（4）
（5）
解(3)得未知数
（3-89）
只须计算三个改正数
将改正数加到相应的观测值中得平差值
（3-90）
一般而言，对于n个方向的测站，角度平差值可表示为
l<I…… i<j<k …… k<r
可归纳出计算角度平差值的规律：全组合测角法任一角度的平差值是一个带权平均值，其中直接角的权为2，其它间接角的权为1。
例
n=7
为方便以后应用，将（3-89）和（3-90）写成矩阵形式
（6）
根据单位权中误差公式可得一测回角度中误差为
（3-92、95）
m测回的角度观测值中误差为
（3-93）
（7）
一般情况下
（8）
（9）
（10）
由上式可知：
①主对角线元素相等，所以平差角具有同样的中误差（或权）
（3-98）
②由于大多数 ,所以平差角度之间是相关的。一般而言，在两个角度具有公共方向的情况下，
公共方向位于组合角一侧时，应取正号；公共方向位于组合角中间时，取负号；没有公共方向则为零。
为了证明全组合测角法的观测结果经测站平差后可以化为一组等精度的独立方向组，首先引进虚拟方向
（11）
式中(0,1)是虚拟的辅助目标0与1之间的角度，相当于定向角，一般来说，括号外是-1/n，括号内是含有关方向的所有角度，并以该方向列于前，再加上(0,1)角。由（11）可得
(11)说明，虚拟方向可以表示为角度观测值的函数，将（11）写成矩阵形式
=-WL（12）
一般可写成 （13）
（14）
式（13）或（14）表示，经测站平差后，方向的协因数是一个对角阵，各方向之间是独立的，各方向的权为 ，由任意两个方向所组成的角之权，因此经测站平差后的方向可以化算为一组等权完全方向组。
（八）、偏心观测与归心改正
标石中心B，仪器中心Y，照准点中心T
1、测站点归心改正
（1）、几个名词
测站偏心：仪器中心Y偏离标石中心B
测站归心改正：把测站偏心时观测的方向值
归算为以标石中心为准的方向值
测站归心改正数c:
测站偏心距：
测站偏心角：
测站偏心元素：,
（2）、公式
，
(3-100)
2、照准点归心改正
（1）、几个名词
照准点偏心：照准点中心T1偏离标石中心B1
照准点归心改正：把照准点偏心时测得的方向值 ， 归算为以标石中心为准的方向值
照准点归心改正数r1 ：
照准点偏心距：
照准点偏心角:
照准点偏心元素:,
（2）、公式
(3-101)
3、一测站同时受到两种偏心的影响
4、归心元素的测定方法
5、归心元素测定精度的探讨
（1）、计算归心改正数必须精度 （或)
这样就提出归心元素测定精度必须保证c,r的误差不影响不降低水平角（方向）观测的精度，这就是规定归心元素测定精度的出发点。
(3-102)
一般取
(1)
要求 (3-103)
如果将(3-103)代入(1)有
由此可以看出，当满足(3-103)时，就能保证方向观测值的精度基本上与测站平差后方向观测值的精度相同，也就是说，并没有因加了归心改正数而降低了方向观测值的精度。
一般
代入(3-103)得，
(3-105)
这就是计算归心改正的必须精度。
（2）、测定e的必须精度
A、求
(3-100)对e微分，并将微分改写成中误差，再考虑=900（或2700），sin()=1(或-1)，此时 的数值最大
或 (3-108)
(3-108)式表明，测定e的精度与e本身无关，只随边长s而变化，边长愈短，测定e的精度要求愈高。
据(3-105)确定的数据 ，由(3-108)给定s可求出
B、求示误三角形与的关系
p为最后决定的投影点位置。如果认为d是投影点在交会方向线上的横向误差，且纵、横向误差等影响，则投影点在任一方向的位置误差为
偏心距是两点之间的距离，所以， 或
(3-114)
C、讨论
由(3-105)和(3-108)可得
(3-110)
代入(3-114)得
(2)
下面分两种情况讨论
第一种是国家等级三角网情况，ms基本为一常数，可取ms=14（秒公里）,分别代入(3-110)和(2)得
(3-112)
由于标石中心和仪器中心易于投影，所以示误三角形边长不得超过5mm,而照准点……允许不大于10mm.
第二种城市、工程控制网情况，IV等， s=2km,
你这个结论说明，对于边较短的城市、工程控制网，不能按国家规范的要求做，要十分注意投影的质量，最好不要有偏心观测。
（3）、测定偏心角θ的必要精度
A、求
(3-100)对θ微分，并将微分改写成中误差，再考虑 或1800）， cos()=1(或-1)，此时 的数值最大
或者 (3)
(3-105)可写为
（3-113)
表明当边长愈短或偏心距愈大时，对偏心角测定的精度要求愈高。
当e<0.3m时，一般用投影法，当边长较短时也要用15/的量角器量取。当e>0.3时，投影用纸没有那么大，要求测定θ的精度也高，只好直接测定。
B、在投影时，检查角的描绘值与观测值之差，在一定程度上代表了θ角的投影中误差 ，因此检查角的最大误差也就是检查角的描绘值与观测值之差的限差
以e=0.3m代入上式得Δ=10.7，规范规定不得超过20，这是考虑国家等级边长较长；对于边长较短的工程网，要大大严于此要求。
（4）、对边长概略值的要求
（3-100）对s微分，并将微分改写成中误差，再考虑=900（或2700）， sin( )=1(或-1)，此时 的数值最大
(4)
上式表明边长愈短或偏心距愈大时，对边长概略值的要求愈高。
可见边长概略值很容易达到。
（九）、照准部偏心差和水平度盘偏心差的概念
经纬仪三心：照准部的旋转中心O1
水平度盘分划中心O2
水平度盘旋转中心O3
1、照准部偏心差
分析上式：
⑴、一测回中，水平度盘固定后，它的照准部偏心差短时间内不会有什么变化，即e是一个固定数，可认为是固定数。又在一测回中，不能变换度盘位置，所以，在一测回中对任何方向P是因定的。这样得出结论：在一测回中ε是A1的正弦函数。如果 各方向均布，相应的有 ，对应于各方向有 。如果以 为横坐标， 为纵坐标画一条折线，根据上式不难看出，这条折线必然接近于一条正弦曲线。
（2）、取两个测微器所得读数的平均，可消除照准部偏心差的影响，得到正确的读数。光学经纬仪是用对径读数方法来实现的，而电子经纬仪是用对径的两个固定光栅。
2、水平度盘偏心差
e1对水面方向读数的影响,是通过e而表现出来的。
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