吉大13春《土质学与土力学》第五章地基中的应力计算
吉大13春《土质学与土力学》第五章地基中的应力计算有效应力原理
土是一个分散体系，由土颗粒组成土的骨架，土颗粒所包围的空间形成土的孔隙。对饱和土而言，土孔隙中充满水。当地基受外力作用时，土骨架和孔隙水分别受力，形成两个独立的受力体系。两个力系各自保持平衡但又互相联系，主要表现在其对应力的分担和互相传递。土的体积变形依据于孔隙体积的压缩，而土的抗剪强度取决于颗粒间的连接情况，其本质是土的变形与强度取决于颗粒之间传递应力的大小。
土的有效应力原理包括以下三项内容：
1．两个受力体系中的两种应力及其相互关系；
2．土的体积变形与两种应力的关系（参见第四章）；
3．土的抗剪强度与两种应力的关系（参见第五章）。
太沙基（K. Terzaghi）早在1923年就提出了有效应力原理的基本概念，阐明了碎散颗粒材料与连续固体材料在应力——应变关系上的重大区别。有效应力原理是土力学区别于一般固体力学的一个最重要的原理，它贯穿于土力学的整个学科，是使土力学成为一门独立学科的重要标志。
一、有效应力及孔隙水压力
土体是由固结颗粒和孔隙水及空气组成的三相集合体，显然外荷在土体中产生的应力是通过颗粒间的接触来传递的。由颗粒间接触点传递的应力，会使土的颗粒产生位移，引起土体的变形和强度的变化。这种对土体变形和强度有效的粒间应力，称有效应力，用表示。
如果土体中的孔隙是互相连通而又充满着水，则孔隙中的水服从于静水压力分布规律。这种由孔隙水传递的压力，称孔隙水压力，用u表示。由于孔隙水在土体中一点各方向产生的压力相等，它只能压缩土颗粒本身但不能使土粒产生位移，而土粒本身的压缩量是可以忽略的。这种不能直接引起土体变形和强度变化的孔隙水压力，又称中性应力。
图3－43为一单位断面积的饱和土体，在水平断面A－A处，每单位面积粒间接触点处垂直分力的总和为有效应力。若在单位断面积A－A上粒间接触点的面积为a，则孔隙水压力作用的面积为1-a。因此，饱和土体垂直方向所受的总应力为有效应力及孔隙水压力之和，即
研究表明，粒间接触面积a值甚小，与总断面积相比，可忽略不计，故上式可写成
（3－52）
此式说明饱和土体中的有效应力与总应力及孔隙水压力之间的关系。当总应力一定，若土体中中孔隙水压力有所增减时，势必相应地减增土内有效应力，从而影响土体固结程度。此即为太沙基提出的饱和土体有效应力原理。它是研究土体固结和强度的重要理论基础。
有效应力原理的要点如下：
1．饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为有效应力和孔隙水压力两部分，有效应力与总应力及孔隙水压力的关系总是满足（3－5）式。
2．土的变形（压缩）与强度的变化都仅取决于有效应力的变化。
对非饱和土体，孔隙中存在有封闭的气泡和与大气连通的气体，水在孔隙中是不连续的，如图3－44所示。这时土的孔隙压力孔隙水压力uw和孔隙气压力ua之和。
设水平断面B－B处，面积为A。其中土颗粒接触点所占面积为As，孔隙水所占面积为Aw，孔隙气体所占面积为（A-Aw-As）考虑B－B断面竖向力的平衡可知，式（3－52）右端第一项为全部竖直向粒间作用力之和除以横断面积A，它代表全面积A上的平均竖直向粒间应力，即
（a）
式（3－52）中第二项孔隙压力u由孔隙水压力uw和孔隙气体压力ua所组成，则
(b)
由于颗粒接触点面积As根据研究不超过0.03A，故在计算孔隙压力时As可忽略不计。令，整理上式得
(c)
将式(a)和(c)代入式（3－52），得非饱和土的有效应力原理表达式为：
（3－53）
式（3－53）称为有效应力原理的完整表达式。式中x是一个与饱和度有关的参数，对于饱和土，x=1，这样，式（3－53）就与式（3－52）一样；对于干土，x=0，则式（3－53）变为
（3－54）
目前已研制出可以测定非饱和土体中孔隙气压力的新仪器。
有效应力原理是土力学中极为重要的原理。70多年来，土力学的许多重大进展都是与有效应力原理的推广和应用相联系的。迄今为止，国内外均公认有效应力原理可毫无疑问地应用于饱和土；而对于非饱和土，公式（3－53）的应用还有许多问题尚待研究。
（a） （b）
图3－43 单元饱和土体 图3－44 非饱和土体
自重应力作用下的两种应力
图3－45a为处于水下的饱和土层，在地面下h2深处的A点，由于土体自重对地面以下A点处作用的垂向总应力为
式中：——水的重度，kN/m3；
——土的饱和重度，kN/m3；
A点处由孔隙水传递的静水压力，即孔隙水压力为
根据有效应力原理，由于土体自重对A点作用的有效应力应为
（3－55）
式中：——土的浮重度，kN/m3。
式3－55说明，浸在静水面以下的土层，由于土自重引起的有效应力，等于该点以上单位面积土柱的有效重量，即浮重度与土层深度之积，而与地面以上水位的高低无关。另外孔隙水压力，为该点以上单位面积静水压力。土体的自重应力计算，即以此有效应力原理为理论基础。
当地下水位以上某个高度hc范围内出现毛细饱和区时（图3－46a），毛细区内的水呈张拉状态，故孔隙水压力是负值。毛细水压力分布规律与静水压力分布相同，任一点的，z为该点至地下水位（自由水面）之间的垂直距离，离开地下水位越高，毛细负孔压绝对值越大，在饱和区最高处，至地下水位处uc=0，其孔隙水压力分布如图3－46b所示。由于u是负值，按照有效应力原理，毛细饱和区的有效应力将会比总应力增大，即。
二、渗流作用下的两种应力
在渗流作用下，土体中的有效应力及孔隙水压力将会发生变化。如在图3－48a的土层中，由于水头差而发生自上而下的渗流时，其土层表面以上的水柱仍为h1，由在土层以下h2深度处a－a断面上的总应力，应为该点以上单位面积土柱和水柱的重量，即
在深度h2处由于自上而下的渗流，其孔隙水压力将因水头损失而减小，若在h2土层中渗流时的水头损失为h，则在a－a断面上的孔隙水压力将为
其孔隙水压力分布图，如图3－48b所示。
因此，a－a断面上的有效应力则是
（3－56）
其总应力及有效应力分布图如图3－48c表示。
图3－48 向下渗流时的孔隙水压力及有效应力
由式3－56可以看出，朝下渗流将使有效应力增加，这是抽吸地下水引起地面沉降的原因之一。因为抽水使地下水位下降，就会在土层中产生向下的渗流，从而使增加，导致土层产生压密变形，故这种朝下渗流产生的压密作用称为渗流压密。
当水头差发生自下而上的渗流时（图3－49a），h2土层以上的水位相同，则在h2深度处a－a断面上的总应力仍为。而孔隙水压力将因水头差h的作用而增加，即
显然，有效应力将相应减小，变为
（3－57）
其孔隙水压力、总应力及有效应力分布图，分别如图3－49b、c所示。
图3－49 向上渗流时的孔隙水压力及有效应力
由此可见，当有渗流作用时，其孔隙水压力及有效应力均与静水作用情况不同。在渗流产生的渗透力的作用下，其有效应力与渗流作用的方向有关。当自上而下渗流时，将使有效应力增加，因而对土体的稳定性有利。反之，若向上渗流则有效应力减小，对土体的稳定性不利。如果在图3－49a中向上渗流的水头差h不断增大，直至a－a断面上的孔隙水压力等于该面上的总应力时，则有效应力将减小为零。即
由此得
式中：——土的临界水力坡降。
当a－a面的水力坡降i>时，即发生所谓的流砂和管涌现象，造成地基或边坡的失稳。此即为用有效应力原理来解释渗透变形的实质。
三、附加应力
在外荷作用下，土体中各点产生的应力增量，称为附加应力。对饱和土，土体中任一点的附加应力是由粒间接触点的有效应力和孔隙水压力u承担。由附加应力作用而引起的孔隙水压力超出静水压力水头，称为超静孔隙水压力。
如果地面上作用着大面积连续均布荷载，而土层厚度又相对较薄时，则土层中引起的附加应力属于侧限应力状态。这时，外荷P在土层中引起的附加应力将沿深度均匀分布，即＝P。显然，这种应力条件下土体在侧向上不能发生变形。
为了模拟饱和土体受到连续均布荷载作用后，在土中所产生的孔隙水压力u0以及u与随时间t的变化规律，1925年太沙基最早提出了一个渗压模型。该模型是由盛满水的钢筒①，带有排水孔的活塞②以及支承活塞的弹簧③所组成，如图3－50所示。钢筒象征侧限条件，弹簧模拟当成弹性体的土骨架，筒中水模拟骨架四周的孔隙水，活塞上的小孔则代表土的渗透性，用以模拟排水条件。
当活塞板上未加荷载时，钢筒一侧的测压管中水位将与筒中静水位齐平。这时，代表土体受外荷载前的情况，土中各点的孔隙水压力值完全由静水压力确定，而且由于任何深度处总水头都相等，土中没有渗流发生。
当活塞板上刚加上外荷载的瞬间(t=0)，容器内的水来不及排出，相当于活塞上小孔被堵死的不排水状态（图3－50a）。水是不可压缩的流体，故模型内体积变化ΔV＝0，活塞不能向下移动，弹簧不受力，外荷载全部由水所承担，测压管中水位将升高h。它代表这时土中引起高于静水位的初始超静水压力，而作用于土骨架上的有效应力＝0。
当t>0后（图3－50b），由于活塞上下有水头差h，导致渗流发生。水从活塞小孔中不断排出，活塞向下移动，代表土骨架的弹簧逐渐受力，与此同时，容器内水压力逐渐减小，测压管水位逐渐降低，说明水所承担的压力逐渐减小，而弹簧承担了水所减少的那部分压力，即。这一过程持续发展，饱和土体中的超静水压力逐渐消散，转移到土骨架
（a） (b) (c)
t=0 t>0 t=∞
u= u< >0 u=0
=0 u+= =
图3－50 饱和土的渗流固结模型
上，骨架的有效应力逐渐增加，孔隙水压力的减小值等于有效应力的增加值。最后，测压管水位又降至与容器内静水位齐平时（图3－50c），全部外荷载都转移给弹簧承担，活塞稳定到某一位置，渗流停止。土中水的超静水压力u=0，而土骨架的有效应力，土体的渗流固结过程结束。
小结上述渗流固结过程，可得如下几点认识：
（1）整个渗流固结过程中u和都是随时间t而不断变化着的，即u=f(t)，=f(t)。渗流固结过程实质上就是土中两种不同应力形态的转化过程。
（2）这里的u是指超静水压力，所谓超静水压力，是外荷载引起的，超出静水位以上的那部分孔隙水压力。它在固结过程中随时间不断变化，固结终了时应等于零。饱水土层中任意时刻的总孔隙水压力应是静孔隙水压力与超静孔隙水压力之和。
四、孔隙水压力系数
目前研究土体有效应力对变形、强度和稳定性的影响，主要是通过三轴压缩仪直接量测三向应力状态下的孔隙，然后求得有效应力。因此，研究不同固结程度下土体中的有效应力，实际上是研究土体中孔隙水压力随固结程度的变化规律。
图3－51 附加应力作用下土中一点应力分量的分解
在外荷作用下，土样中所增加的三向应力分量（图3－51），可分解为等向压缩应力状态和轴向偏差应力状态两部分。它们分别引起的超静孔隙水压力为ΔuB和ΔuA。而在三向应力增量作用下，土样中一点引起的总的超静孔隙水压力增量为
可分别计算如下。
1．等向压缩应力状态——孔压系数B
在不排水条件下，当四周受相等应力增量时，其平均有效应力增量为
假定土体符合线性弹性理论，其应力应变服从广义虎克定律，则在各向相等有效应力增量作用下，土体的体积应变
则
式中——土体的体积压缩系数，1／MPa。
同时，在超静孔隙水压力的作用下，引起孔隙体积（包括水和气体）的应变为
则
式中mn——孔隙的体积压缩系数，1／MPa；
n——土的孔隙率。
由于土颗粒体积的压缩量，在一般建筑物作用下可忽略不计，故土体体积的变化应等于孔隙体积的变化。即，得
则 （3－19）
式中B——孔隙水压力系数，与mc和mn有关。
对于饱和土体，孔隙中充满水，在不排水条件下，孔隙的体积压缩系数远小于土体的体积压缩系数，则，B≈1，＝。
对于干土，孔隙中充满空气，孔隙的压缩性趋于无穷大，则，因此B＝0。
对于部分饱和土，B值介于0~1之间，所以B值可用作反映土体饱和程度的指标。对于具有不同饱和度的土，可通过三轴试验测定B值。
2．偏差应力状态——孔压系数A
当在轴向施加偏差应力增量时，引起的超静孔隙水压力增量为，从而使轴向及侧向引起的有效应力增量分别为
同样根据线性弹性理论，得土体体积的变化量
在偏应力作用下，由引起孔隙体积的变化量
因为，故得
上式是将土体视为弹性体得出来的，弹性体的一个重要特点是剪应力作用下只会引起受力体形状的变化而不引起体积变化。但土体受剪后会发生体积膨胀或收缩，土的这种力学特性称为土的剪胀性。因此，上式中的系数1/3只适用于弹性体而不符合土体的实际情况。英国学作司开普顿（A.W.Stempton）引入了一个经验系数A来代替1/3，用A值来反映土在剪切过程中的胀缩特性，并将上式改写为如下形式：
（3－60）
对于饱和土，系数B＝1，则
（3－61）
孔压系数A是饱和土体在单位偏差应力增量作用下产生的孔隙水压力增量，可用来反映土剪切过程中的胀缩特性，是土的一个很重要的力学指标。
孔压系数A值的大小，对于弹性体是常量，A＝1/3；对于土体则不是常量。它取决于偏差应力增量所引起的体积变化，其变化范围很大，主要与土的类型、状态、过去所受的应力历史和应力状况以及加载过程中所产生的应变量等因素有关，在试验过程中A值是变化的。测定的方法也是用三轴压缩试验。如果A<1/3，属于剪胀土，如密实砂和超固结粘性土等。如果A>1/3则属于剪缩土，如较松的砂和正常固结粘性土等。表3－9是司开普顿等根据试验资料建议的A值。
表3－9 孔压系数A参考值
土 类 A（用于计算沉降） 土 类 Af（用于计算土体破坏）
很松的细砂
灵敏性粘土
正常固结粘土
轻度超固结粘土
严重超固结粘土 2~3
1.5~2.5
0.7~1.3
0.3~0.7
-0.5~0 高灵敏度软粘土
正常固结粘土
超固结粘土
严重超固结粘土
>1
0.5~1
0.25~0.5
0~0.25
在三向应力和共同作用下的超静孔隙水压力
（3－62）
因此，只要知道了土体中任一点的大小主应力变化，就可以根据在三轴不排水试验中测出的孔压系数A、B值，利用式（3－62）计算出相应的初始孔隙压力。
孔隙水压力系数的测定，对用有效应力原理研究土体的变形、强度和稳定性，具有重要实际意义。在实际工程中，只要能较准确地确定A、B系数值，即可估算土体中由于应力的变化而引起的超静孔隙水压力变化，以便能用有效应力对土体的变形、强度和稳定性进行分析。
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