西交12秋《普通物理》第八、九章 拓展资源
西交12秋《普通物理》第八、九章静电场、静电场中的导体和电介质拓展资源应用高斯定理涉及到的几个问题
张丽萍
(辽宁工程技术大学理学院辽宁 阜新123000)
高斯定理是静电场的两条基本定理之一。它反映了静电场中任一闭合面的电通量与面内电荷之间的定量关系．揭示了场强的空间分布和电荷分布之间的关系。
一、 学习高斯定理首先要理解电通量的概念
利用电力线的图像有助于加深对电通量的理解。根据通常约定的原则，在做电力线图时，总是使电场中任一点的数密度△N／△S与该点场强大小E成正比，这里△S垂直E(如图1(a)所示)。或更简单些，规定上式中的比例系数为1，则可写出如下等式：
E=△N／△S或△N=E△S （1）
即在电场中每一点，穿过与场强方向垂直的单位面积的电力线条数与场强的大小相等。
当所取面元与该处场强不垂直时(如图1(b)所示)，则需考虑面元△S在垂直于E方向上的投影面积 。设n为面元△S法线方向的单位矢量，n与E之间的夹角为 ，于是有 ，由图1(b)可见，通过△S和的电力线条数相等，即
在这里我们引入“面元矢量△S”这个物理概念，其大小为面元的面积，其方向为面元的法线方向，即 ，用这样一个矢量便把面元△S的面积大小和空间取向两方面的性质都概括了，于是式(1)和(2)就可统一写成如下形式：
我们把上式右方的物理量称为电通量。定义：通过面元△S的电通量为：
注意：面元△S的法线矢量n与场强E的夹角 可以是锐角(如图2(a))，也可以是钝角(如图2(b))，所以电通量 可正可负。当 为锐角时，cos >0， 为正；当 为钝角时，cos <0， 为负；当 为直角时，cos =0，这时 =0(如图2(c))。
对于非无限大的曲面来说，曲面上场强大小和方向一般是逐点变化的。要计算电通量，就需要把这曲面分割成许多小面元△S，并按式(4)计算通过每一个小面元的电通量 后再迭加起来，得到通过整个曲面S的总电通量 ，用数学公式来表示则有
上式求和号Σ是沿曲面S求和。当所有面元△S趋于无限小时，则用dS表示．而上式的求和即化为沿曲面S的积分。即
对于闭合曲面，其电通量为
一个曲面有正、反两面，它的法线矢量也有正、反两种取法。正和反本是相对的，对于单个面元或不闭合曲面，法线矢量的正向取向朝哪一面是无关紧要的。但闭合曲面则把整个空间划分成内、外两部分，其法线矢量正方向的两种取向就有了特定的含义：指向曲面外部空间的叫外法线矢量。通常规定：外法线方向为正。这样，在电力线由里向外穿出曲面的地方，电通量为正；在电力线进入曲面的地方，电通量为负。对于一个闭合曲面，往往既有穿进去的电力线，也有穿出来的电力线。穿进的电通量与穿出的电通量的代数和就是整个闭合曲面的电通量。
二、 应用高斯定理求场强分布的关键是分析对称性，选择合适的高斯面
高斯定理的数学表达式为：
一般情况下，用上式不能把电场中各点的场强E确定下来，但当激发电场的电荷分布具有某种特殊的对称性，从而周围电场的分布也具有相应的对称性时，可用高斯定理可求场强分布，而且比用场强叠加原理要简便得多。因为电场具有对称分布时，可选取适当的高斯面，使面上E的大小相等， 为定植，便于将E从积分号内提出，使计算简化。因此应用高斯定理求场强分布的关键，首先在于分析电荷和电场分布的对称性。一般可以分为两种情况：电荷分布在有限大小的物体上，但该物体具有某种对称性；电荷分布具有无限大、无限长的特点，或经过简化处理后可视为无限大、无限长的分布。
下面略举几例，分析几种典型的对称性分布。
例1． 如图3所示．电量Q均匀地分布在半径为R的球壳上，分析空间各处的电场分布情况。
这是个有限分布的问题。由于电荷均匀分布在球壳上，这个带电体系具有球的对称性，因而电场分布也应具有球的对称性。这就是说，在任何与带电球壳同心的球面上各点场强E的大小均相等，方向沿半径向外呈辐射状。为了具体地说明场强的方向确实如)此，让我们来考虑空间任一场点P，对于带电球壳上的任何一个面元dS，在球面上都存在着另一个面元dS’，二者关于OP连线完全对称(0是球心)，dS和dS’在P点产生的元场强dE1和dE1’也是关于OP连线对称，从而它们的矢量和dE= dE1+dE1’也必定沿OP连线。整个带电球壳都可以分割成一对对的对称面元，所以在P点的总场强E一定是沿OP连线的。
如果上述带电体系是球体而不是球壳，电场的分布也是球对称的．可以把带电体分割成一层层的同心带电球壳，这样就可以利用上面的结果了。
例2．如图4所示，试分析均匀带正电的无限长细棒产生的场强分布。
这样的带电体系具有轴对称性．即在任何垂直于棒的平面内的同心圆周场强E的大小都一样，那场强的方向呢?我们可以先假设棒长为L,所研究的场点在棒的中垂面上(如图4所示．P点)。整个细棒可以分割成一对对的线元，其中每对线元dl和dl’关于中垂线OP对称，这一对带电线元在中垂线上任一点P所产生的元场强dE和dE’也关于中垂线对称。它们在垂直于OP方向的分量互相抵消，从而合矢量dE+dE’沿中垂线方向向外。细棒在P点的总场强是所有这样的一对对元场强dE和dE’的矢量和，其方向必然也是沿中垂线方向向外。
上述结论对于中垂面以外的点显然不适用。例如，图4中P1点偏于上方，作垂线P1O1垂直于带电棒，则O1以下半段棒比O1以上半段长，于是下半段多余的电荷将在P1点产生向上的场强分量，从而它们在P1点产生的场强必然偏向上方。反之，P1点偏于下方时，场强也偏向下方。
以上分析的是有限长带电棒的情况．而本题要研究的是无限长带电棒．情况就不同了。这时无所谓中点，或者说，棒上的每个点都是中点．因为随便从哪里分割。上下两段都是无限长，谁也不比谁更长，所以棒外任何地方的场强既不会向上偏，也不会向下偏，都是和有限长棒的中垂面上一样，与棒垂直呈辐射状。而且不管P点向上或向下移动．只要保持它到棒的垂直距离不变．场强的数值就不变。
上面讨论了对称性，那么怎样选取适当的高斯面呢?
首先应当明确高斯面并不是真实的。物理上可以实现的闭合曲面，而是前面(7)式所要求的假想的、数学上的积分曲面，它是可以随意选取的，可以具有任意的形状和大小，可以处于导体、电介质的表面。但是，为了便于计算出电通量即电场强度沿闭合曲面的积分，我们应尽量巧妙地选取高斯面，使这个积分容易计算出来。下面谈谈基本方法。
应使高斯面或一部分高斯面经过待求的场点，因为只有这样经过积分后求出的场强才是我们欲求点处的场强，另外还应使这部分高斯面与场强垂直。或处处与之呈一固定角度。在使高斯面的一部分满足上述条件后，应尽可能使其余部分与场强垂直或使这部分高斯面上场强为零(如经过导体内部，因为这样选取后这部分高斯面上的电通量为零，积分值则无需计算)。
应使高斯面具有对称性。这样不但能减少计算量，还能减少差错。一般对有限大小的带电体，根据其本身的对称性来选择高斯面。如球体、球壳本身是关于球心对称的，高斯面也应选成与它同心的球面。对于无限大、无限长的带电体。一般是选取有限大小的高斯面，即高斯面只包含带电体的一部分，同时应使高斯面对面内所包含的带电体具有对称性。例如，对无限大带电平面，我们选取一穿过的平板的对称的圆柱面为高斯面，其侧面与带电平面垂直，两底与带电平面平行，并相对平面对称。实际上，对无限大带电体截取一部分运用高斯定理来分析，就是把无限大的带电体简化为有限大小的带电体来研究。
高斯面不能就选在 体表面处或电介质的表面处。因为导体表面上有电荷分布，高斯面如果与导体表面重合，则无法确定这些电荷是处于高斯面内还是处于面外，因而无法计算。
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