自动控制原理辅导资料七
自动控制原理辅导资料七主 题：根轨迹分析法的辅导文章——根轨迹的概念、根轨迹的绘制
学习时间：2010年11月29日－12月5日
内 容：
我们这周主要学习第4章根轨迹分析法的部分内容。希望通过下面的内容能使同学们加深对根轨迹分析法的相关知识的理解。
说明：根轨迹法是一种图解方法，主要用于线性定常控制系统的分析和设计。学习根轨迹法使得我们避免了求解高阶系统特征方程的困难，所以学好根轨迹分析法对我们至关重要，希望同学予以重视。
一、概述
自动控制系统的稳定性完全由闭环特征方程的根（闭环极点）决定。而系统瞬态响应的基本性能则取决于闭环传递函数的极点和零点的分布。因此分析系统性能必须求解微分方程。
当微分方程的阶次在三阶以上时，求解就很困难。特别是当开环放大系数（或其它参数）改变时，需要进行反复地计算才能得到所要求的结果。这种计算的复杂性限制了时域分析法在高阶控制系统中的应用。
1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了一种求解特征方程根的简单方法，即根轨迹法。
所谓根轨迹是指当系统开环传递函数中某一参数从零变到无穷时，闭环特征方程式的根在s平面上运动的轨迹。而根轨迹法是在已知控制系统开环传递函数零点、极点在s平面分布的基础上，研究某一个或某些参数的变化对控制系统闭环传递函数极点分布影响的一种图解方法。
二、根轨迹的概念
1.解析法绘制根轨迹
由图1可知系统的开环传递函数为：
系统的闭环传递函数为：
则可知闭环特征方程为：
得到的闭环特征根为： ，
图1
令 从0到 变化，则闭环特征根在复平面上描绘出若干曲线（根轨迹）。如下图2所示。
图2
2.用根轨迹分析闭环系统各种性能
1）分析稳定性：在0<K<∞范围内，系统是稳定的。
2）分析动态性能：
a．当0<K<0.5时，系统是过阻尼的；
b．当K=0.5时，系统为临界阻尼状态；
c．当K>0.5时，系统是欠阻尼的。
若已知K=1，则闭环极点为-1±j，参数ζ=0.707，ω=0.414，系统的瞬态响应指标超调量σ%= 4.3%，调节时间 秒。
d．当K继续增大时，其超调量σ%将增大，而调节时间基本不变。
3）分析稳态性能：系统是 型的，阶跃函数作用下的稳态误差为零。
2.根轨迹的概念
根轨迹：在已知系统开环传递函数的极点、零点分布的基础上，研究某个或某些参数变化对系统闭环特征根分布影响的一种图解方法。
根轨迹的特点：
1） 是一种图解方法；
2） 利用开环极点和开环零点确定闭环极点。
3.根轨迹方程
1）控制系统的闭环传递函数为 ，其闭环特征方程为：
，或写成
即
因为满足上式的 值是系统的特征值，必定是根轨迹上的点，因此称该式为根轨迹方程。
如系统开环传递函数为 ，其中 ， 、 分别为系统的开环零点和开环极点。它们既可以是实数，也可以是复数； 为系统的根轨迹增益，简称根迹增益； 为系统的开环放大系数，也称开环增益，它与根轨迹增益 之间只差一个比例系数。
当系统开环根轨迹增益变化时，根轨迹方程可由下述方程描述：
2） 根轨迹方程的辐角条件：
a. 时
（1）
b． 时
（2）
3）根轨迹方程的幅值条件：
从零变化到正无穷时，系统的根轨迹称为常规根轨迹或180°根轨迹，根轨迹方程为（1）式。 从负无穷变化到零时，系统的根轨迹称为零度根轨迹，根轨迹方程为（2）式。
在 平面上，凡能满足辐角条件的点都是系统的特征根，这些点的连线就是根轨迹，所以，辐角条件是绘制根轨迹的依据，而幅值条件只是用来确定根轨迹上某点的相应 值。
三、典型例题解析
1.根轨迹是指当系统开环传递函数中某一参数( )时，闭环特征方程式的根在s平面上运动的轨迹。
A.从正无穷变到负无穷 B.从负无穷变到1
C.从零变到无穷 D.从1变到无穷
答案：C
2.( )是绘制根轨迹的依据。
A.辐角条件 B.幅值条件
C.开环增益 D.开环零点
答案：A
3.已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 ，试绘制以 为参变量的根轨迹图。
解：1）开环极点数目 ，开环极点 ，开环零点数目 。
2）实轴上的根轨迹分布在整个负实轴
3）渐近线条数
渐近线与实轴交点
渐近线与实轴夹角
4）分离点 ，系统特征方程
由 得
解得 ， （舍）
5）根轨迹与虚轴的交点，
整理特征方程为：
根据三阶系统的稳定条件，令 ，得 。
由辅助方程为 ，解得 。
根据以上参数绘制根轨迹如下图所示。
四、本周需要同学掌握的内容
1. 重点掌握根轨迹的概念以及根轨迹的特点
2. 掌握根轨迹的辐角条件及幅值条件
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