自动控制原理辅导资料六
自动控制原理辅导资料六主 题：时域分析法的辅导文章——稳定性、稳态误差分析
学习时间：2010年11月22日－11月28日
内 容：
我们这周主要还是学习第3章时域分析法的部分内容。希望通过下面的内容能使同学们加深对时域分析法的相关知识的理解。
一、 稳定性
1.稳定性的基本概念
如果系统受到扰动，偏离了平衡点，但当扰动消失后，能回到平衡点，称这个系统是稳定的，反之，就是不稳定的。
2．线性系统稳定的数学条件
设系统原平衡点为 。现在加入扰动输入 ，即 。
设扰动输入引起系统输出的闭环传递函数为
（1）
输出的拉普拉斯变换为
（2）
式中 。
对（2）式进行等效变换写成部分分式和的形式，并取拉普拉斯反变换得
（3）
式中，系数 由系统结构参数决定。
对式（3）分析如下：
1) 若特征方程的根均具有负实部，则系统稳定；
2) 复数根对应的系统运动是衰减振荡的；
3) 实数根对应的系统输出为指数衰减形式；
4) 若特征方程的根中有一个或一个以上是正数，系统是不稳定的；
5) 特征方程中有实部为零的根，系统处于临界稳定状态。
3.线性系统稳定的充分必要条件
系统特征方程式的根全部具有负实部。或说闭环传递函数的极点全部位于左半 平面。
表1 系统稳定性的简单例子
4.劳斯判据
1）系统稳定性的初步判别
设系统的闭环特征方程为
式中，所有系数均为实数，且 ，则系统稳定的必要条件是上述特征方程的所有系数均为正数，即 。
2）劳斯判据
若系统特征方程式为
则系统稳定的充分与必要条件是：
a. 要求 ，且系统特征方程式各项系数均为正数。
b. 劳斯阵列中第一列系数均为正数。
其中，劳斯阵列表中系数计算方法为：
， ， ，…
直至其余 项均为零。
， ， ，…
按此规律一直计算到 行为止。
说明：
(1).系数的计算进行到其余的系数项全为0止，直到 行；系数的完整阵列为倒三角形；
(2).为了简化计算，可用一个正整数去除或乘某一行的各元素，并不影响稳定性结论。
5.赫尔维茨判据
若系统特征方程为:
赫尔维茨判据认为：系统稳定的充分和必要条件是 的情况下，赫尔维茨行列式对角线上所有子行列式 均大于零。
赫尔维茨行列式根据特征方程的系数按下述规则构成：主对角线上为特征方程式自第2项系数 写至系数 ；在主对角线以下的各行中各项元素的下标依次减少；而在主对角线以上的各行中各项元素的下标依次增加；当元素的下标大于 或小于0时，行列式中的该项取0。赫尔维茨行列式的阶数是系统特征方程的阶数，如下所示：
二、稳态误差分析
在稳定的基础上，不仅要求系统具有较快的动态响应速度，还应具有令人满意的稳态控制精度。稳态误差是系统控制精度的度量，它体现了系统进入稳态时，实际输出与希望输出之间的偏差。
1.稳态误差的概念
系统结构图如下
图1 图2
定义在输入端的误差
定义在输出端的误差
两种误差之间存在内在联系：
对于单位反馈系统，即 ，有 ，所以 可以反映 ，且便于测量。
误差时域表达式 ，令 时，得稳态误差：
2.稳态误差的计算
若控制系统的开环传递函数为
说明系统有 个积分环节串接， 有 重 的极点。因为系统的类型常按其开环传递函数中串联积分环节的数目分类，所以称此系统为 型系统，当 时，则分别称之为0型、Ⅰ型、Ⅱ型、…系统。
表2 参考输入作用下各系统的稳态误差
系统 阶跃输入
斜坡输入
抛物线输入
0型
Ⅰ型 0
Ⅱ型 0 0
三、典型例题解析
1. 线性系统稳定的充分与必要条件是系统特征方程式的所有根均在s平面的( )。
A.左半部分 B.右半部分
C.上半部分 D.下半部分
答案：A
2. 应用劳斯判据可以判别( )。
A.系统的相对稳定性
B.系统的绝对稳定性
C.求解系统稳定的临界参数
D.分析系统参数对稳定性的影响
答案：ABCD
3. 线性系统的稳定性仅与系统( )的分布有关。
A.开环传递函数的极点 B.开环传递函数的零点
C.闭环传递函数的极点 D.闭环传递函数的零点
答案：C
四、本周需要同学掌握的重点内容为
1. 掌握线性系统稳定的充分必要条件。
2. 会用劳斯判据判别系统的稳定性。
3. 重点掌握稳态误差的计算方法。
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