自动控制原理辅导资料九
自动控制原理辅导资料九主 题：频域分析法的辅导文章——频率特性、频率特性的图示方法
学习时间：2010年12月13日－12月19日
内 容：
我们这周主要学习第5章频域分析法的部分内容。希望通过下面的内容能使同学们加深对频域分析法的相关知识的理解。
学习时，请同学根据老师标注的侧重点选择性学习。
一、概述
频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种图解方法。频率特性和传递函数一样，可以用来表示线性系统或环节的动态特性。
频率法的优势主要体现在以下几方面：
虽然频率特性是系统对正弦输入的稳态响应，但它不仅仅反映系统的稳态性能，还可以用来研究系统的稳定性和瞬态性能，而且不必解出特征方程的根；
频率特性与二阶系统的过渡过程性能指标有着确定的对应关系；
线性系统的频率特性可以非常容易地由解析法得到；
不仅适用于线性系统，也可以推广到某些非线性系统的分析研究中。
二、频率特性的基本概念（需要学生重点掌握的内容）
1．基本概念（需要学生重点记忆的概念）
1）频率特性：系统（或环节）对正弦输入信号的稳态响应。
2）幅值比：同频率下输出信号与输入信号的幅值之比。B/A
3）相位差：同频率下输出信号的相位与输入信号的相位之差。Φ
4）幅频特性：幅值比与频率之间的关系。
图1
5）相频特性：相位差与频率之间的关系。
图2
6）幅相特性：将幅频和相频画到一起。矢量端点的轨迹。
图3
2.频率特性的求取
1）实验法
2）利用传递函数求：系统的频率特性 可以通过系统的传递函数 来求取：
， ，
三、频率特性的图示方法（需要学生重点掌握的内容）
频域分析法是一种图解方法，采用频域法分析闭环系统的特性时，通常需画出系统开环频率特性曲线。频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐标图和对数幅相图。
1．极坐标图（要求学生对以下几个典型环节的坐标图重点掌握）
在极坐标图上，规定矢量与实轴正方向的夹角为频率特性的相位角，且按逆时针方向为正进行计算。
1）比例环节 频率特性的极坐标图
幅频特性：
相频特性：
图4
2）积分环节 频率特性的极坐标图
幅频特性：
相频特性：
图5
3）一阶微分环节 频率特性的极坐标图
幅频特性：
图6
4）惯性环节 频率特性的极坐标图
幅频特性：
相频特性：
图7
5）延滞环节 频率特性的极坐标图
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
6）振荡环节
频率特性：
幅频特性：
相频特性：
图8
2.对数坐标图（要求学生重点掌握图上的具体信息，最好能自己画出来）
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形，称为对数坐称图或波德(Bode)图。
对数坐标图在频率法中应用最为广泛。它的主要优点是：
利用对数运算可以将串联环节幅值的乘除运算转化为加减运算；
可以扩大所表示的频率范围，而又不降低低频段的准确度；
可以用渐近线特性绘制近似的对数频率特性，从而使频率特性的绘制过程大大简化。
1）对数坐标
对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分组成。
对数幅频特性和相频特性的横坐标都是频率 ，采用对数分度，单位为弧度／秒。
对数幅频特性的纵坐标表示幅值比的对数值，定义为 。采用线性分度，单位是分贝，用字母 表示。
对数相频特性的纵坐标表示相位差 ，采用线性分度，单位是度。
图9 对数频率特性的坐标
在对数分度的横坐标中，当变量增大或减小10倍，称为十倍频程（dec），坐标间距离变化一个单位长度。此外，零频率不能表示在对数坐标图中
2）比例环节的对数频率特性曲线
图10
3）积分环节的对数频率特性曲线
图11
4）微分环节的对数频率特性曲线
图12
微分环节与积分环节的对数频率特性对称于横轴，因为他们的传递函数互为倒数。
5）惯性环节的对数频率特性曲线
图13
6）微分环节的对数频率特性曲线
图14
7）振荡环节的对数频率特性曲线
图15
8）延滞环节的对数频率特性曲线
图16
3．系统的开环对数频率特性曲线
因为系统的开环频率特性通常是若干个典型环节频率特性的乘积，所以对数幅频特性和相频特性可分别表示为：
在绘制对数坐标图时，幅值的乘法运算变成了加法运算。
绘制系统开环对数坐标图的一般步骤和方法归纳如下：
写出以时间常数表示、以典型环节频率特性连乘积形式的开环频率特性；
求出各环节的转角频率，并从小到大依次标注在对数坐标图的横坐标上；
计算20lgK的分贝值，其中K是系统开环放大系数。过 这一点做斜率为 的直线，此即为低频段的渐近线，其中 是开环传递函数中积分环节的个数；
绘制对数幅频特性的其它渐近线；
给出不同ω值，计算对应的φi ，再进行代数相加，画出系统的开环相频特性曲线。
4.最小相位系统
1）具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角变化范围最小。最小相位名称由此得到。
2）最小相位系统的幅频特性和相频特性之间有着确定的单值关系。也就是说，如果系统的幅频特性已定，那么这个系统的相频特性也就唯一地被确定了，反之亦然。然而，对于非最小相位系统而言，上述关系是不成立的。
3）对于开环不稳定的系统，因为它的传递函数在s平面的右半面有极点而属于非最小相位系统。为了统一起见，以后凡是没有特殊说明，一般都是指最小相位系统而言。对于这类系统有时可以不必绘制它的对数相频特性曲线。
5.对数幅相图
对数幅相图是将对数坐标图的幅频特性与相频特性绘制到一张图上来表示系统频率特性的图形，也称为尼柯尔斯(Nichols)图。
四、典型例题解析
1、比例环节的相频特性为( )。
A.0°
B.60°
C.90°
D.180°
答案：A
2、具有( )的系统，最小相位系统的相角变化范围最小。
A.相同幅频特性
B.不同幅频特性
C.相同相频特性
D.不同相频特性
答案：A
3、某最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示。
（1）写出系统开环传递函数；
（2）试求系统的相位裕度 ，并判断系统的稳定性。
解：（1）设开环传递函数为：
由 ，求得K=10。
所以： 。
（2）由 ，得
所以，
系统是稳定的，但裕度很小。
五、思考题（答案解析请见第十周辅导资料）
已知最小相位系统Bode图的幅频特性如下图所示，试求当 时，系统的开环传递函数。
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