大工自动控制原理辅导资料八
自动控制原理辅导资料八主 题：根轨迹分析法的辅导文章——根轨迹的绘制、广义根轨迹的绘制、控制系统的根轨迹分析
学习时间：2010年12月6日－12月12日
内 容：
我们这周主要还是学习第4章根轨迹分析法的部分内容。希望通过下面的内容能使同学们加深对根轨迹分析法的相关知识的理解。
一、根轨迹的绘制
1.绘制根轨迹的基本规则
1）根轨迹的方向、起点和终点
根据根轨迹定义，根轨迹起始于K*=0，终止于K*→∞。由幅值条件得：
当K*=0时，s→-pj (j=1，2，…，n)为系统的开环极点；
当K*→∞时，s→-zi (i=1，2，…，m)为系统的开环零点。
结论：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目m小于开环极点数目n，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。
2）根轨迹的分支数
每个闭环特征根的变化轨迹都是整个根轨迹的一个分支，因此根轨迹的分支数与闭环特征方程的根的数目相同。
结论：根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，即开环零点数m和开环极点数n中的较大者。
3）根轨迹的连续性和对称性
K*的无限小增量与s平面上的长度|s+pj|及|s+zi|的无限小增量相对应，即复变量s在n条根轨迹上均有一个无限小的位移。当K*从零到无穷大连续变化时，根轨迹在s平面上一定是连续的。
特征根可以是实数根或复数根，而复数根又必然是成对出现的共轭复数，所以这些根必然对称于实轴。
结论：根轨迹是连续的，且以实轴为对称的曲线。
4）实轴上根轨迹的分布
图1
5）根轨迹的渐近线
结论：如果系统的有限开环零点数m少于其开环极点数n，则当根迹增益K*→∞时，趋向无穷远处根轨迹的渐近线共有n-m条。
这些渐近线与实轴上的交点坐标为：
与实轴正方向的夹角为：
6）根轨迹的分离、会合点
分离点：根轨迹分支在实轴上某点相遇又向复平面运动。
会合点：根轨迹分支从复平面运动到实轴上某点。
图2
一般情况下,两个极点间的根轨迹上必有一个分离点,两个零点间的根轨迹上必有一个会合点。一个零点与一个极点之间既没有分离点也没有会合点，特殊情况下两者同时存在。
结论：根轨迹分离点或会合点的坐标，可通过求解方程 或者 的根得到。
7）根轨迹与虚轴的交点
与虚轴的交点可利用下面两种方法之一：
a.用 代入特征方程求解。
b.根据系统临界稳定的条件，利用劳斯判据法求解。
结论：根轨迹与虚轴的交点坐标及临界根迹增益，可以通过用 代入系统闭环特征方程求取，也可用劳斯判据列表的方法确定。
8)根轨迹的出射角和入射角
出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实轴之间的夹角。
入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实轴之间的夹角。
图3
结论：开环复数极、零点的出射角与入射角由下面公式计算。
9)闭环极点之和
结论：当满足(n-m)³ 2时，闭环极点之和等于开环极点之和。
10)闭环极点之积
结论：若满足(n-m) ³ 2，且有开环零点位于原点时，闭环极点之积等于开环极点之积。
二、广义根轨迹
以非开环根迹增益为可变参数的根轨迹，或非负反馈系统的根轨迹统称为广义根轨迹。
正反馈系统与负反馈系统的根轨迹方程相比，它们的幅值条件相同，辐角条件不同。负反馈系统的辐角满足 ，而正反馈系统的辐角满足 。所以通常也称负反馈系统的根轨迹为180°根轨迹，正反馈系统的根轨迹为0°根轨迹。
正反馈系统的来源可能取决于两个方面：
1.系统中包含有正反馈回路；
2.系统中含有 最高次幂的系数为负的因子。
三、控制系统的根轨迹分析
图4 控制系统根轨迹分析步骤
四、典型例题解析
某系统方框图如下图所示，试绘制该系统的根轨迹图。
解：系统开环传递函数为
其中， 。
系统为负反馈系统且开环传递函数为标准形式，属于 根轨迹
1）开环极点数目
开环零点数目
2）实轴上根轨迹分布在 和 。
3）渐近线条数
渐近线与实轴夹角
4）求分离点公式
即
解得 （会合点）， （分离点）
该系统根轨迹为圆，是以 为圆心，半径为 的圆。
本周需要同学掌握的重点内容为：根据根轨迹绘制的基本原则绘制系统的根轨迹。
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