大工12春桥涵水文辅导资料七
大工12春桥涵水文辅导资料七主 题：第二章水文统计原理7节
学习时间：2012年5月14日－5月20日
内 容：
我们这周主要学习水文统计原理7节的相关内容。希望通过下面的内容能使同学们加深相关知识的理解。
一、学习要求
1、掌握相关分析的基本知识；
2、掌握直线相关的回归方程；
3、掌握相关系数；
4、掌握相关分析的误差；
5、掌握容许相关系数的最小值；
二、主要内容
第七节相关分析
相关性：自然界中有许多现象并非各自独立，其相互间往往存在着一定的联系。例如，气温与蒸发、降雨与径流、水位与流量、上下游水位(或流量）等都是有联系的。
相关分析的主要应用：这种现象之间的联系在解决水文分析问题中经常被用到。这是由于在水文分析中，常常遇到某一种现象的资料很少，一但与其有关的另一种现象的资料项数却很多，我们就可以通过这两种现象之间的关系，利用长系列资料展延（或内插）短系列资料。这种关系的推求在数理统计中是用相关计算这个工具。
相关：变量之间近似的或平均的关系称为相关；
相关分析：研究相关关系的方法，称为相关分析。
变量之间的关系：完全相关、零相关、统计相关。
完全相关：变量之间的关系非常密切，相互成严格的函数关系；
零相关：变量相互独立，互不影响，彼此之间没有关系；
统计相关：变量不是相互独立互不影响的，彼此之间的关系也不是非常密切，介于完全相关和零相关之间，称为统计相关。
在水文现象中，变量之间的关系多属于统计相关。
简单相关：两个变量之间的相关；分为直线相关和曲线相关，见下图；
复相关：多个变量之间的相关。
一、直线相关的回归方程
直线相关：就是两个变量之间的相关，可以近似地配成一条直线。这条直线的方程式就称为两变量的回归方程式。
相关图解法：是把两个变量的对应观测资料点绘在一张图上，得到若干个相关点，再通过点群中心目估一条相关线，该相关线视点群的趋势可能是直线也可能是曲线，它代表了点群趋势的平均情况，有了这条相关线，就可以利用长系列资料延长另一短系列资料。
图解法缺乏选配回归线的依据，任意性较大工程设计不宜使用。
解析法：建立两变量之间的回归方程式，作为绘制回归线的依据，可以避免目估的随意性。
解析法：以xi、yi表示两系列中随机变量的对应值，n表示其对应值的个数，在坐标纸上，按各对应值绘出相应点据，并通过点群绘出一条直线：
直线方程为：
式中：
x、y—直线的坐标；
a、b—待定参数，a为截距，b为斜率；
我们希望直线为真实测点群的最佳配合线或能代表其平均情况，可用最小二乘法，即使实测点和相关线间误差平方和为最小：
为极小值
则需令：
联立求得：
则可得y依x的回归方程：
同理可得x依y的回归方程：
二、相关系数
在数理统计中，一般采用相关系数R来描述和判别两变量之间的相关程度；相关程度即回归线与点距之间的密切程度，对直线亦即直线与点距之间关系的密切程度。
令 、 ，则
由此可见A、B总是正值，且A≥B。称R为相关系数：
1、若 ，各点距与回归线离差为0，表明所有点都位于回归线上，两变量之间存在直线函数关系，为完全相关，此时， ， ，
2、 的值越大，各点距与回归线的离差越大；若 的值达到最大，则可认为两变量之间不存在直线相关，为零相关。
3、若 的值介于上述二者之间，则 的值介于0和1之间，表明两变量之间存在统计相关关系，统计相关程度随R值大小而异。
相关分析的前提：
1、两变量自然现象之间存在客观联系，具有可参照性；
2、两变量具有较为密切的相关性。
三、相关分析的误差
直线相关，实有点距并不是完全位于一条直线上，而是分散于直线的两侧，直线与实有点距之间，即依据直线所得y值与实际变量yi值之间存在一定的误差，就是回归线的误差，按正态分布考虑，其误差可用均方误S表示，
则y依x回归线的均方误为： ，
利用样本推算时为： ，
四、容许相关系数的最小值
相关系数R表示两个随机变量系列相关的密切程度，R的最小值多大，才能应用于两个系列间的插补和延长呢？
我国桥梁水文分析中，通常认为R的绝对值大于0.8，就可使用相关分析进行资料数据的插补和延长。
应用数理统计的统计检验方法来检验相关系数的可靠性更为合理。根据t检验，制成不同信度下所需相关系数最小值表，可根据两系列中相应随机变量的个数和信度，在表中查得容许相关系数的最小值。若两系列间的相关系数大于此最小值，则认为两系列相关是密切的。
信度表示推断的可信程度，例如置信水平a=0.05，表明推断错误的概率是5%；1-a称为置信水平，1-a=1-0.05=0.95，即推断正确的概率为95%。
五、相关分析在水文计算中的应用
相关分析，可利用较长系列的实测资料，对短系列观测资料进行插补或延长，从而提高水文统计的精度。
年最大流量、水位、降雨量等系列之间变量的统计相关，以直线相关居多，一般可采用简单的直线相关分析。
两测站间观测资料的插补和延长及相互推算，如采用相关分析的方法，首先应检查系列间是否有客观联系，并判断是否存在直线相关，及相关程度；同时，两系列对应观测资料不宜过少（十对以上为宜），且数据变化幅度大一些为好，插补和延长的年限不宜超过已有对应资料的实测年限，外延部分最好不要超过实测范围的30%~50%。
利用相关分析对短系列资料插补延长
步骤：
1、用图解法初步判断两变量之间是否存在直线相关。
2、列表计算两系列中的统计参数：均值，模比系数等。
3、计算相关系数r及4Er。并判别两变量之间是否存在较为密切的直线相关。
相关系数的误差用机误的四倍表示：
三、典型例题
1、信度表示推断可信程度，若a=0.05 ，表明推断错误概率是( )。
A、5%
B、95%
C、90%
D、10% 答案：A
2、信度表示推断可信程度，若a=0.05 ，表明置信水平是( )。
A、0.05
B、0.95
C、0.90
D、0.10 答案：B
3、信度表示推断可信程度，若a=0.05 ，表明推断正确的概率是( )。
A、5%
B、95%
C、90%
D、10% 答案：B
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