南开12春《概率论与统计原理》《概率与统计原理》复习题
《概率论与统计原理》、《概率与统计原理》复习题S期末综合练习题1. 袋中有大小相同的15件产品，其中7件是一等品，8件是一等品。用不放回方式从袋中任取2件产品，求（1）它们的都是一等品的概率；（2）它们的等级相同的概率。
做法参见第12页例1.5
解：设A={它们的都是一等品}，B={它们的等级相同}
则P（A）= ，P（B）=
2. 设甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，其产品产量分别占全部产量的30%，45%和25%，又知三个工厂的次品率依次为3%，2%和4%。现在从全部产品任取一件产品，（1）求它是次品的概率；（2）若已知取出的这件产品是次品，求它是由乙厂生产的概率。
（1）的做法参见第26页的例1.19，例1.20，
（2）的做法参见第27页的例1.21
解：设Ai={取到第i个工厂}（i=1，2，3），B={取到的是合格品}。则
P（A1）=0.30，P（A2）=0.45，P（A3）=0.25，P 0.97，P 0.98，P 0.96。
（1）P（B）=0.3×0.97+0.45×0.98+0.25×0.96=0.972
（2）P
3. 某食品厂用自动装罐机罐装食品罐头，按质量管理规定：标准重量为500克，标准差不超过8克，每天定时检验机器装罐情况。从某天装罐的罐头中随机抽取100罐，测得其样本平均重量为 501.5克，样本标准差为8.5克，假定罐头重量服从正态分布，试问该天机器工作是否正常？（ =0.05）
标准重量的检验的参见第217页的例8.6
标准差的检验参见第218页的例8.7以及第224页表8.1
解：（1） 500，由于总体标准差未知，检验的统计量为
由于样本容量n=100充分大，检验统计量t近似～N（0，1）。当α=0.05时， =1.96，故假设H0的否定域为 。
而
1.76
由于 ，所以在显著性水平0.05下，不否定假设H0，即可以认为平均重量符合标准。
（2）假设 的检验，用统计量 。
这里，样本容量为n = 100， ，所以 123.225，于是当 时，否定假设 。
由于S=8.5，于是
111.762
由于 111.762＜123.225，因此不否定假设 ，即可以认为标准差符合标准。综合（1）和（2），得到机器工作正常。
4. 设连续型随机变量X的概率密度为
求（1）系数k；（2）分布函数F(x)；（3）P( ) 。
解：（1）由 ，得到 ，于是得到k = 1。
（2）当x≤0时，F（x）=0；当x≥1时，F（x）=1；当＜x≤1时，
F（x）=
即F（x）=
（3）P( )=F（0.5）- F（-0.5）=（-0.52 +0.5）-0 = 0.25
5. 设随机变量X服从参数为n=36，p= 的二项分布，求X的数学期望和方差。
做法参见第111页的例4.2和第120页的例4.16
解：
课件第三章3.3常用分布的数学期望和方差
EX= np = =12
DX= np（1- p）= =8
6. 设由来自正态总体 的容量为16的简单随机样本，得样本均值 =100，求（1）总体均值μ的点估计；（2）总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。
做法参见第188页的例7.10和第194页的例7.14
（1）总体均值μ的点估计为100；
（2）总体均值μ的置信度为0.95的置信区间为
（100 – 1.96 ，100 + 1.96 ）=（95.59，104.41）
7. 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表示下列事件：
（1） A发生且B与C至少有一个发生
（2） A与B发生而C不发生
（3） A，B，C中至少有两个发生
（4） A，B，C中至多有两个发生
（5）A，B，C中不多于一个发生
（6） A，B，C中恰好有一个发生
课本P9例1.3
解：（1） 表示B与C至少有一个发生，答案为：
（2）A与B发生就是AB同时发生，就是AB，C不发生就是 ，所以答案是
（3）ABC中至少两个发生，先假设AB两个发生，C发生与否不管，则有AB，再假设BC发生，A不管，则有BC，依次有答案是
（4）ABC中至多两个发生，即可能性是：全部不发生，或者一个发生，或两个发生，而不可能是都发生。所以可以表示为ABC全部发生的逆事件：
（5）不多于一个发生的逆事件是至少两个发生，即（3）的逆事件，答案：
（6）恰好一个发生，先假设A发生，BC不发生，则有 ，再B发生，AC不发生，有 ，再C发生AB不发生，有 ，因此答案为：
8. 设P(B) = 0.2，P(A+B) = 0.7，当A与B互不相容时，P(AB) = （1） ； 当A与B相互独立时，P(AB) = （2） 。
解：有P17-18 加法公式：设AB为任意两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
因为AB互不相容，则（1）P(AB)=0，所以P(A)=0.7-0.2=0.5。
又因为AB相互独立，由P28定义1.7，事件A独立于B有P(AB)=P(A)P(B)，所以（2）P(AB)=0.2*0.5=0.1
9. 设随机变量X的分布函数为 ，则系数A = ，P（ ）= 。
课本P54例2.12
解：（1）由于F（X）的连续性，有 ，A=1。
（2）P（ ）=P（ ）
=P（X< ）- P（X< ）
==1•sin -0=
10. 为了研究变量y与x的关系，对y与x进行10观测，得到如下结果：
y 58 105 88 118 117 137 157 169 149 202
x 2 6 8 8 12 16 20 20 22 26
140， 1300， 2528， 184730， 21040
根据上述资料
（1）建立y对x的的线性回归方程，并检验回归效果（α= 0.05， ）；
（2）当x= 10时，估计y的值。
（1）的做法参见第264页的例9.8
（2）的做法参见第264页的例9.10
解：（1）Sxx ==2528 - = 568
Syy ==184730 - = 15730
Sxy ==21040- = 2840
回归方程为
ST = Syy =15730，U ==14200，Qe = ST – U = 15730 – 14200=1530
= =74.25
由于F=74.25＞5.32，所有回归方程是显著的。
（2） =110
其他应重点掌握的知识点：
PPT第五章5.4假设检验
二、一个总体参数的假设检验
1、一个总体均值的假设检验
（2）正态总体、方差 未知
双侧检验 上侧检验下侧检验
假设 H0：μ=μ0
H1：μ≠μ0H0：μ≤μ0
H1：μ＞μ0 H0：μ≥μ0
H1：μ＜μ0
检验统计量
拒绝域
t＞tα(n-1)t＜- tα(n-1)
课件第一章 1.4.1 概率的三条公理（概率的公理化定义）
公理1 0≤P（A）≤1
公理2 P（Ω）=1
随机变量的分布函数
1、分布函数的定义
设 X 是一个随机变量，对任意x∈(-∞，+∞)，称函数F (x) = P{X≤x}为随机变量 X 的分布函数。
2、分布函数的性质
（1）有界性 0≤F（x）≤1， x∈(-∞，+∞)
（2）单调不减性
对任意x1＜x2，有F （x 1 ）≤ F（x2 ）
P{x1＜X≤x2}= F（x2 ）-F （x 1 ）
（3）右连续性 F（x ）是右连续函数。
（4） F（ +∞ ）=1， F（ -∞ ）=0
一个随机试验的所有基本事件构成的集合称为样本空间，用Ω来表示；其中每一个基本事件称为样本点，用ω来表示 ，即Ω ={ω}。
一些随机试验：
E1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数
E2：记录一段时间内某城市110报警次数
E3：从含有三件次品a1，a2，a3和三件正品b1，b2，b3的六件产品中，任取两件，观察出现正品和次品的情况
E4：从一批电脑中任取一台，观察无故障运行的时间
E5：设平面上有一簇间距为a的平行线，现反复用一枚长度为l（l<a）的针投掷下去，投掷n次后，观察针与平行线相交的数目
E6：向坐标平面区域D：x2 +y2≤100内随机投掷一点（假设点必落在D内），观察落点M的坐标
随机试验E1，E2，…，E6所对应的样本空间如下：
Ω1 = {1，2，…，6}
Ω2 = {0，1，2，…}
Ω3 = {(a1a2)， (a1a3)， (a2 a3) ，(a1 b1)，(a1 b2)，(a1b3)，(a2 b1) ，(a2 b2 )，(a2 b3)，(a3 b1)，(a3 b2)，(a3 b3)，(b1b2)，(b1 b3)，(b2b3)}
Ω4 = {x：x≥0}
Ω5 ={0，1，2，… ，n}
Ω6 ={(x，y) ： x2 +y2≤100}
课件第一章1.5.1条件概率
在事件 B 发生的条件下，事件 A的条件概率为
例设某地区历史上从某次特大洪水发生后，在30年内发生特大洪水的概率为0.8，在40年年内发生特大洪水的概率为0.85。已知该地区无特大洪水已有30年，求在未来10年内将发生特大洪水的概率。
见课本P23，例1.17
假设检验的基本步骤
（1）根据实际问题的要求提出原假设H0和备择假设H1，并且在作出最后的判断之前，将始终在假设H0成立的假定下进行分析；
（2）构造适当的检验统计量J，在假设H0成立下，其分布已知；
（3）对给定的水平a（0<a <1），确定否定域V；
（4）根据检验统计量J的观察值，作出统计决策。
离散型随机变量的定义
如果随机变量的所有可能取的值只有有限个或可数无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。离散型随机变量的例子：
观测一小时内达到某收费站的汽车数量
110每天接到报警电话的次数
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