自动控制原理辅导资料四
自动控制原理辅导资料四主 题：时域分析法的辅导文章——瞬态响应
学习时间：2010年11月8日－11月14日
内 容：
我们这周主要开始学习第3章时域分析法的部分内容。希望通过下面的内容能使同学们加深对时域分析法的相关知识的理解。
一、 概述
1.控制系统性能分析的方法
1）直接求解法：对已建立的系统数学模型，在给定初始条件和输入信号的情况下，直接求解。直接求解法可以直观、准确地获得系统时域响应行为的全部信息。
2）间接评价法：通过某些性能指标来评价系统的品质。这些性能指标或与时域指标有直接联系，间接地反映系统时域行为信息。
3）计算机仿真法：利用计算机进行仿真求解。应用计算机仿真技术，进行控制系统的分析、设计，是一种非常重要的辅助方法。
2.线性定常系统的主要性能分析
1）动态性能：是指控制系统的输出在输入信号作用下的变化情况。为了描述系统响应的好坏，提出一系列的动态性能指标。表征输出响应在阶跃信号作用下的动态性能指标有超调量、调整时间等。
2）自动控制系统能够正常工作的前提是系统稳定。不稳定的系统是不能正常工作的，这需要判断系统的稳定性。判断方法有多种，例如：劳斯判据、Nyquist判据、李雅普诺夫第二方法等。
3）控制系统一般都存在一定的稳态误差。稳态误差除了与系统的结构和参数有关，还与输入信号有关。需要分析系统的结构、参数及输入信号对系统稳态误差的影响，并讨论采取何种措施可以减小或消除稳态误差。
二、瞬态响应
瞬态响应：是指系统在输入信号作用下,其输出量从初始状态到进入稳态之间随时间变化的过程。在分析系统的瞬态响应时，需要建立对控制系统进行比较的标准，这个标准是：预先规定一些典型的试验输入信号；建立比较的标准，即性能指标，比较控制系统对规定输入信号的响应。
1.典型输入信号
1） 阶跃函数
这是最常用的一种实验输入信号。指令突然转换、合闸、负荷突变等，均可视为阶跃函数。它的表达式为：
当 时，则称为单位阶跃函数，记作 。
2） 斜坡函数
斜坡函数是从零开始随时间线性增加的信号，所以也叫等速度函数。它的表达式为：
当 时，则称为单位斜坡函数。
3） 抛物线函数
抛物线函数也叫等加速度函数，它的表达式为：
当 时，则称为单位抛物线函数。
4） 脉冲函数
脉冲函数的表达式为：
5） 正弦信号
正弦信号也是一种常用的典型输入信号，它的表达式为：
2.一阶系统的瞬态响应
1）一阶系统的单位阶跃响应
当系统输入 为单位阶跃函数时，输出响应的拉普拉斯变换为：
对 取拉普拉斯反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为：
单位阶跃响应的曲线如图1所示。该响应是一个由初值0，按指数规律上升并趋于1的无振荡响应，其响应速度完全由一阶系统时间常数 决定。时间常数 反映系统的惯性， 越大，响应越慢，系统惯性越大；反之， 越小，响应越快，系统惯性越小，所以一阶系统通常被称为一阶惯性系统。
图1 一阶系统的单位阶跃响应
2） 一阶系统的单位脉冲响应
当系统输入 为单位脉冲信号时， ，则输出响应的拉普拉斯变换为：
对 取拉普拉斯反变换，可得一阶系统的单位脉冲响应为：
3.二阶系统的瞬态响应
1）二阶系统的单位阶跃响应
设 ， ，初始条件为零，则对 ，
系统的输出可由 的拉普拉斯变换求得：
对分母多项式进行因式分解得：
式中， 是二阶系统的两个特征根。 。
a. ，欠阻尼情况
系统的传递函数可改为：
，此时 。
式中， 称为阻尼振荡频率， 。
b. ，无阻尼情况
系统的两个特征根 为一对共轭虚根，单位阶跃响应为 ，称为无阻尼响应，是等幅振荡响应过程。
c. ，临界阻尼情况
系统有两个相等的负实数根。 。系统对单位阶跃输入的响应为 ，取 的拉普拉斯反变换，得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应，它是一个稳态误差为零的既无超调，也无振荡的单调响应过程。
d. ，过阻尼情况
系统有两个不相等的负实数根，
如图2所示，过阻尼二阶系统的响应曲线。阶跃响应无超调，而且响应过程比 时拖得更长。
图2 过阻尼情况的单位阶跃响应
e.当 ，负阻尼情况
系统的两个特征根均具有正实部，其阶跃响应发散，这样的系统不稳定，不能正常工作。
小结：在一定 值下，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值。与 值在一定范围内的欠阻尼系统相比，过阻尼系统反应迟钝，动作很缓慢，所以一般的控制系统大都设计成欠阻尼系统。
2） 二阶系统的脉冲响应
当输入信号 ，即 时，二阶系统的单位脉冲响应的拉普拉斯变换时为 。
二阶系统的时域脉冲响应表达式不需要记忆，了解即可。
三、典型例题解析
1.如果系统输入大部分是随时间逐渐增加的信号时，则选用( )作为实验信号。
A.阶跃函数 B.斜坡函数
C.抛物线函数 D.脉冲函数
答案：B
2.工程实际中往往习惯把二阶系统设计成( )工作状态。
A.欠阻尼 B.过阻尼
C.负阻尼 D.临界阻尼
答案：A
3. 对于线性定常系统的性能分析主要包括( )。
A.常值 B.动态性能
C.稳定性 D.稳态误差
答案：BCD
四、本周需要同学掌握的重点内容
1. 了解控制系统性能分析的方法和线性定常系统的主要性能分析。
2. 掌握瞬态分析的概念及5个典型的输入信号。
3. 重点掌握一、二阶系统的瞬态响应。
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