自动控制原理辅导资料二
自动控制原理辅导资料二主 题：控制系统数学模型的建立的辅导文章——控制系统微分方程的建立、传递函数
学习时间：2010年10月25日－10月31日
内 容：
我们这周主要学习第2章控制系统数学模型的建立的部分内容。希望通过下面的内容能使同学们加深对控制系统数学模型的相关知识的理解。
一、 概述
系统的数学模型是描述系统各变量之间关系的数学表达式。我们对控制系统的研究就是从数学模型着手，分析系统的性能，并根据性能指标的要求，进行控制系统的综合校正。
控制系统的数学模型有动态模型和静态模型之分。
动态模型：描述系统动态过程的数学表达式，如微分方程、偏微分方程、差分方程等。
静态模型：在变量的各阶导数为零的条件下，描述系统各变量之间关系的数学表达式。
建立系统的数学模型主要有两条途径：
1．理论推导法：通过系统本身机理（物理、化学规律）分析确定模型结构和参数，推导出系统的数学模型。
2.实验测试法：根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出数据，推断出被测系统的数学模型。
二、控制系统数学模型的建立
控制系统输入输出之间的动态特性可由微分方程式来描述，而微分方程式就是系统的一种数学模型，建立系统微分方程式的一般步骤：
1.确定输入变量和输出变量；
2.根据物理或化学定律，列出系统（或元件）的原始方程式；
3.找出中间变量与其他因素的关系式；
4.消去中间变量，得到输入输出关系方程式；
5.若所求输入输出关系为非线性方程，则应进行线性化；
6.标准化，将输入项及各阶导数放在方程的右边，将输出项及各阶导数放到方程的左边，然后按降幂的顺序排列；
建立系统微分方程式的举例（了解）：
元部件 微分方程 变量说明
R-L-C电路
弹簧-质量-阻尼器系统
电枢控制的直流电动机
磁场控制的直流电动机
电动机转速控制系统
热力系统
流体过程
对于一个线性系统，设它的输出为 ，输入为 ，则系统微分方程式的一般形式如下：
（2-1）
式中， 如果是时间的函数，则系统称为线性时变系统；如果为常数，则系统称为线性定常系统。
对于实际物理系统，由于存在惯性等特性，所以输出端的导数阶数总是大于或等于输入端的导数阶数，故有 ，而大多数系统 。
三、传递函数
控制系统的微分方程，是在时域描述系统动态性能的数学模型。在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。
1.传递函数的概念
1）传递函数：对线性定常微分方程进行拉普拉斯变换，可以得到系统在复数域的数学模型，称其为传递函数。它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
2）控制系统的零初始条件：有两方面的含义，一是指输入作用是在t=0以后才作用于系统的，因此，系统输入量及其各阶导数在t=0时的值均为零；二是指系统在输入作用加入前是相对静止的，因此，系统输出量及其各阶导数在t=0时的值也为零。
2.传递函数的性质
线性定常系统的传递函数为：
（2-2）
式中， 为传递函数的分子多项式， ；
为传递函数的分母多项式， 。
1） 传递函数是复变量 的有理真分式函数。 ，其中 为实部， 为虚部。分子的阶数 一般低于或等于分母的阶数 ，且所有系数均为实数。 ，这是因为物理系统必然具有惯性，而且能源又是有限的缘故；各系数均为实数，是因为它们都是系统部件参数的函数，而部件的参数只能是实数。
2） 传递函数只取决于系统和部件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。
3） 一定的传递函数有一定的零点、极点分布图与之对应，因此传递函数的零点、极点分布图也表征了系统的动态性能。
4） 若令式（2-2）中 ，则，
（2-3）
称为传递系数（或静态放大系数）。
5） 传递函数只能表示输入与输出的函数关系，至于系统中的中间变量无法反映出来。
6） 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系，如果是多输入多输出系统，则需要用传递函数阵来描述。
3.典型环节及其传递函数
控制系统是由若干元件或部件有机组合而成的。从形式和结构上看，有各种各样不同的部件，但从动态性能或数学模型来看，却可分成为数不多的基本环节，也就是典型环节。不管元件或部件是机械式、电气式或液压式等，只要它们的数学模型一样，它们就是同一种环节。
1.比例环节
比例环节的传递函数为
（2-4）
式中， 为一常值。这表明，比例环节的输出量与输入量成正比，不失真也不延滞，所以比例环节又称为放大环节或无惯性环节。
2.惯性环节
惯性环节的传递函数为
（2-5）
式中， 为惯性环节的时间常数。
当惯性环节的输入量为单位阶跃函数时，该环节的输出量将按照指数曲线上升，在经过3个 时，响应曲线达到稳态值的95%，或经过4个 时，响应曲线达到稳态值的98%，即输出响应具有惯性，时间常数 越大惯性越大，如图1所示。 电路、 电路、直流电动机电枢回路都可看作惯性环节。
(a)电路 （b）单位阶跃响应曲线
图1 惯性环节
3.积分环节
积分环节的传递函数是：
（2-6）
当积分环节的输入信号为单位阶跃函数时，则输出为 ，它随着时间直线增长，如图2所示。直线的增长速度由 决定，即 越小，上升越快。当输入突然除去时，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。对于理想的积分环节，只要有输入信号存在，不管多大，输出总要不断上升，直至无限。当然，对于实际部件，由于能量有限、饱和限制等，输出是不可能达到无限的。
图2 积分环节的单位阶跃响应曲线
4.微分环节
理想微分环节的传递函数为：
（2-7）
式中， 为微分时间常数。
在实际系统中，微分环节常带有惯性，它的传递函数为：
（2-8）
式（2-8）由理想微分环节和惯性环节组成。
5.比例+微分环节
比例+微分环节的传递函数为：
（2-9）
式中， 为比例系数。具有比例+微分环节特性的实际例子有无源电路和有源电路，如图3所示。图3所示无源电路的传递函数为：
（2-10）
式中， ， 。当 比较大时，上式就可看成是比例+微分环节。
（a）无源电路 (b)有源电路
图3 比例+微分环节
6.振荡环节
该环节包含两个储能元件，在动态过程中两个储能元件进行能量交换。它的传递函数为：
（2-11）
式中， 为无阻尼自然振荡频率； 为阻尼比， 。
图4 振荡环节单位阶跃响应曲线
7.延滞环节
在实际系统中经常会遇到这样一种典型环节，当输入信号 加入后，该环节的输出 要隔一定的时间后才能复现输入信号，如图5所示。在 内，输出为零， 称为延滞时间，这种环节称为延滞环节，具有延滞环节的系统称为延滞系统。
（a）输入信号 （b）输出信号
图5 延滞环节
延滞环节的传递函数为
（2-12）
以上是线性定常系统中按数学模型区分的几个最基本的环节。一般地，一个系统是由若干个典型环节经过连接有机地组合而成。
四、典型例题解析
1.系统中如果有( )，对系统的稳定性不利。
A.惯性环节 B.积分环节
C.振荡环节 C.延滞环节
答案：D
2. 建立系统或元件微分方程时，首先要( )。
A.确定系统和各元件的输入量和输出量
B.列出原始方程
C.取得微分方程
D.标准化处理
答案：A
3. 同一个物理系统，可以用不同的数学模型来表达。（ ）
答案：对
五、本周需要同学掌握的重点内容为：
1. 了解控制系统数学模型建立的一般步骤，能够为简单的系统建立数学模型。
2. 重点掌握传递函数的概念及性质，因为传递函数贯穿整个自动控制原理课程，要求同学清楚掌握。
3. 重点掌握各个典型环节及其传递函数。
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