天津大学19年4月《数值计算方法》离线考核答案资料参考
数值计算方法第一组：
一、计算题（共48分）
1、（24分）
取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分 的近似值（保留4位小数）。
2、（24分）
设 ，求
二、 论述题（共52分）
1、（30分）
已知方程组 ，其中
，
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。
2、（22分）
数值积分公式，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精度是多少？
第二组：
一、 计算题（共56分）
1、 （28分）
设有线性方程组 ，其中
（1）求 分解;
（2）求方程组的解
(3)判断矩阵 的正定性
2、（28分）
用列主元素消元法求解方程组
二、 论述题（共44分）
1、 （28分）
已知方程组 ，其中
（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快。
2、（16分）
使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？
第三组：
一、 简述题（共50分）
1、 （28分）
已知方程组 ，其中
，
列出Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。
2、 （22分）
用牛顿法求方程 在 之间的近似根
（1） 请指出为什么初值应取2？
（2） 请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001。
二、计算题（29分）
用反幂法求矩阵 的对应于特征值 的特征向量
三、分析题（21分）
设
（1）写出解 的牛顿迭代格式
（2）证明此迭代格式是线性收敛的
第四组：
计算题
1. 写出求解线性代数方程组
的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。（28分）
2.
（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange插值多项式 ；
（2）以0，1，2为求积节点，建立求积分 的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。（41分）
3.利用Gauss变换阵，求矩阵 的LU分解。（要求写出分解过程）
（31分）
第五组：
一、计算题（共76分）
1、（22分）用高斯消元法求解下列方程组
2、（31分）
用雅可比方法求矩阵 的特征值和特征向量
3、（23分）
求过点（-1，-2），（1,0）（3，-6），（4,3）的三次插值多项式
二、简述题（24分）
写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分
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