福师《实变函数》18春作业1和2辅导资料
福师《实变函数》在线作业二一、单选题：
1.[判断题]若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:——A——
2.[判断题]有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:——B——
3.[判断题]若f∈L1,则几乎所有的x属于均是g的L点. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:——B——
4.[判断题]存在上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等． (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
5.[判断题]可数集的测度必为零，反之也成立. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
二、多选题：
6.[判断题]设f为上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
7.[判断题]若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
8.[判断题]若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
9.[判断题]若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
10.[判断题]对R^n中任意点集E，E\\E'必为可测集. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
11.[判断题]若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
12.[判断题]积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
13.[判断题]增函数f在上几乎处处可微。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
三、判断题：
14.[判断题]无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
15.[判断题]一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
16.[判断题]不存在这样的函数f：在区间上增且使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a). (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
17.[判断题]函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
18.[判断题]一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
19.[判断题]若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
20.[判断题]L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
21.[判断题]若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
22.[判断题]有界可测函数f在区间上L可积的充要条件是f在上几乎处处连续. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
23.[判断题]若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
24.[判断题]f在上为增函数，则f的导数f'∈L1. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
25.[判断题]闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
26.[判断题]若A交B等于空集，则A可测时必B可测. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
27.[判断题]函数f在区间上Ｒ可积的充要条件是f在区间上的不连续点集为零测度集. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
28.[判断题]有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞ (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
29.[判断题]R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
30.[判断题]对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
31.[判断题]测度为零的集称为零测集. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
32.[判断题]利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
33.[判断题]若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f). (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
34.[判断题]积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
35.[判断题]若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
36.[判断题]若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
37.[判断题]f为上减函数，则f'(x)在可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a). (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
38.[单选题]若A为R^n中一疏集，则（） (满分:)
A. Ac为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
正确答案:————
39.[单选题]有限个可数集的乘积集是（） (满分:)
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
正确答案:————
40.[单选题]若|A|=|B|,|C|=|D|,则 (满分:)
A. |A∪C|=|B∪D|
B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\\C|=|B\\D|
D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
正确答案:————
41.[单选题]在（）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分:)
A. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
正确答案:————
42.[单选题]设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是上的 (满分:)
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
正确答案:————
43.[多选题]设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则 (满分:)
A. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
C. 若E1包含于E2,m(E2\\E1)=mE2-mE1
正确答案:————
44.[多选题]A，B是两个集合，则下列正确的是（） (满分:)
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\\B)包含f(A)\\f(B)
正确答案:————
45.[多选题]在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（） (满分:)
A. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
D. f不是可测函数
正确答案:————
46.[多选题]若f∈BV，则（） (满分:)
A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
正确答案:————
47.[多选题]若A和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（） (满分:)
A. m(A)<m(B)
B. m(A)<=m(B)
C. m(B\\A)=m(A)
D. m(B)=m(A)+m(B\\A)
正确答案:————
48.[多选题]若f,g是有界变差函数，则（） (满分:)
A. f+g有界变差函数
B. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f,g)有界变差函数
正确答案:————
49.[多选题]f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上 (满分:)
A. 广义R可积
B. 不是广义R可积
C. L可积
D. 不是L可积
正确答案:————
50.[多选题]若f不可测，g可测，则下列正确的是（） (满分:)
A. f+g不可测
B. fg不可测
C. g^2可测
D. |g|可测
正确答案:————
福师《实变函数》在线作业一
一、单选题：
1.[判断题]利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:——B——
2.[判断题]f,g∈M(X),则fg∈M(X). (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:——B——
3.[判断题]f在E上可积的充要条件是级数M之和收敛. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:——A——
4.[判断题]若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
5.[判断题]f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
二、多选题：
6.[判断题]三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
7.[判断题]存在某区间上增函数f，使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a). (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
8.[判断题]闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
9.[判断题]若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
10.[判断题]若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
11.[判断题]有界可测函数f在区间上L可积的充要条件是f在上几乎处处连续. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
12.[判断题]若A交B等于空集，则A可测时必B可测. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
13.[判断题]若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
三、判断题：
14.[判断题]L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
15.[判断题]积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
16.[判断题]L积分比R积分更广泛，且具有优越性。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
17.[判断题]若f∈L1,则几乎所有的x属于均是g的L点. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
18.[判断题]若f广义R可积且f不变号，则fL可积. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
19.[判断题]R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
20.[判断题]f为上减函数，则f'(x)在可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a). (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
21.[判断题]无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
22.[判断题]连续函数和单调函数都是有界变差函数. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
23.[判断题]若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
24.[判断题]不存在这样的函数f：在区间上增且使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a). (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
25.[判断题]积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
26.[判断题]函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
27.[判断题]零测度集的任何子集都是可测集. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
28.[判断题]若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
29.[判断题]三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
30.[判断题]f在上为增函数，则f的导数f'∈L1. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
31.[判断题]可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
32.[判断题]可数集的测度必为零，反之也成立. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
33.[判断题]增函数f在上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
34.[判断题]若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
35.[判断题]设f为上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
36.[判断题]一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
37.[判断题]若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。 (满分:)
A. 错误
B. 正确
正确答案:————
38.[单选题]若f∈L(X),则 (满分:)
A. f在X上几乎处处连续
B. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
C. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
正确答案:————
39.[单选题]下列关系式中不成立的是（） (满分:)
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C. (A∩B)0=A0∩B0
D. (∪Ai)c=∩(Aic)
正确答案:————
40.[单选题]fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（） (满分:)
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
正确答案:————
41.[单选题]fn->f,a.e.,则 (满分:)
A. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|,a.e.
正确答案:————
42.[单选题]设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是上的 (满分:)
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
正确答案:————
43.[多选题]若f∈AC，则（） (满分:)
A. f∈C
B. f∈BV
C. f(x)=f(a)+∫axf'(t)dt
D. f∈Lip
正确答案:————
44.[多选题]在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（） (满分:)
A. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
D. f不是可测函数
正确答案:————
45.[多选题]A，B是两个集合，则下列正确的是（） (满分:)
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\\B)包含f(A)\\f(B)
正确答案:————
46.[多选题]设f为上减函数，则f为（） (满分:)
A. 有界函数
B. 可测函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
正确答案:————
47.[多选题]f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上 (满分:)
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
正确答案:————
48.[多选题]设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是 (满分:)
A. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
正确答案:————
49.[多选题]设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则 (满分:)
A. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B. 若E1包含于E2,mE1<=mE2
C. 若E1包含于E2,m(E2\\E1)=mE2-mE1
正确答案:————
50.[多选题]设f为上增函数，则f为（） (满分:)
A. 几乎处处可微
B. L可积
C. f'可积
D. 区间上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
正确答案:————
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