问题驱动式教学模式在高等数学教学中的探索

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发表于 2019-7-2 07:21:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
问题驱动式教学模式在高等数学教学中的探索
◎吴才鑫 肖 玲 吴 芳 罗红梅
(凯里学院,贵州 凯里 556011)
【摘要】高等数学无论从思维逻辑上还是内容深度上,对学生而言往往都是一门较难攻克的学科,加之需要较强的想象能力,因此,很多学生对高等数学很难提起学习欲望,因而,大部分学生对高等数学的理解与实践能力也并不是很好.本文分析了高等数学的特点,提出了问题驱动式教学模式的优势,及其应用在高等数学实践教学中的优势.
【关键词】问题驱动式;教学模式;高等数学;学生
一、何谓问题驱动教学

问题驱动教学是一种全新的教学模式,相较于以往的传统教学,通过设定问题情境,来帮助学生建立一种自主学习、主动探索的全新学习模式.在该教学模式下,通过加强教师与学生的互动,以问题的形式“抛砖引玉”地一步一步剖析,最后引出教学知识点,使得学生在这种“循序渐进”的教学模式下,提高学生的学习热情,从而逐渐地喜欢上数学.

问题驱动教学以提出问题、创设情境的模式,来引导学生进入教师所设定的情境中,学生在这个过程中,能够完全地呈现出主体地位,整个教学过程中,教师也仅仅是起到辅助的作用,而非传统教学中的完全主导,且整个教学环境会更加轻松诙谐,从设定问题、提出假设、寻找解决方法,到最后的解决问题,整个过程中,尽可能地发挥学生的主体地位,从而提高学生的参与热情,为学生与教师之间的沟通交流提供了“机会”,拉近了教师与学生之间的距离,进而增加了学生的学习动力,树立了自信心,提高了逻辑思维能力及解决问题的能力.

二、高等数学的基本特征

数学作为我国应试教育的三大主科之一,一直是基础课程,伴随着我们的整个义务教育阶段.而高等数学,同样也作为高等教育教学中的主要基础课程,是很多大学生必修的专业理论课.一般会根据专业不同,其难易程度、内容范围、思维广度、逻辑深度上有所差异,偏文科的专业其高等数学的内容则相对较少,逻辑深度也并不是很深;而理工科的高等数学在内容上及思维逻辑上就会更加深入一点.虽然数学对我们来说并不是很陌生,但是由数学到高等数学,其跨度较大,抽象逻辑思维较为复杂,因而对很多学生而言,高等数学学习都是十分吃力的.

三、问题驱动式教学模式在高等数学教学中的具体实践应用(一)构建知识框架

在学习新知识、新内容时,教师要帮助学生构建知识框架,让学生能够在一个清晰的知识结构中,进行学习、交流、探讨、互动、总结、改进.创设情境进行教学,即通过构建一个情境去探索、求知与解题,既增加了整个课程教学的新颖性,也让学生自己“走进”情境中去探索问题、寻找问题、解决问题,学生在求知的过程中,不断地发现问题、解决问题,以问题为最终的学习导向,从而形成一种新的学习方法及学习乐趣.例如,矩阵:由m×n个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵,简称m×n矩阵.记作:


这m×n个数称为矩阵A的元素,简称为元,数aij位于矩阵A的第i行第j列,称为矩阵A的(i,j)元,以数aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m×n,m×n矩阵A也记作Amn.

元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.那么具体教学中学生应该怎样理解方阵的概念与意义呢?教师可以帮助学生创设一个问题情境,来帮助学生理解矩阵的意义.对矩阵的m×n,可以创设一个学生较为熟悉的问题情境:假如你是某食品厂的企业管理者,针对该厂生产食品的成本进行计算,根据计算来设计一个销售方案.其中成本输入包括原材料、工人工资、机械耗材等,一年的销售量分为四个季度:第一个季度20万,第二个季度30万,第三个季度25万,第四个季度40万.通过矩阵的方式可以计算到每个季度当时的成本共投入多少,最后就可以计算出最后的利润是多少.利用科学的数学计算方法,不仅可以帮助生产企业进行合理的计算,通过计算也可以设计产品的销售方案,从而凸显了学习高等数学的重要性.

(二)学习的过程中不断地提出问题

学习是一个过程,而非一蹴而就地完成某件事,其重视结果的同时,也更加注重对学生学习过程的培养.因而,在学习的过程中,要引导学生不断地提出问题、剖析问题、透过问题看本质,引导学生自主学习,激活原有的知识“体系”,将知识进行有效的“串联”,在学习的过程中,既可以深化学习内容,也可以不断地回顾知识,对以往知识进行更好的总结.而对某些生硬的知识点,往往很难一下子让学生领悟与理解,因而,通过提出一个接一个的问题,来帮助学生逐渐地消化与理解,让学生能够更加系统、全面、深入地了解知识点,对知识点更好地理解与掌握.例如,广义积分.定积分概念的推广至积分区间无穷和被积函数在有限区间上为无界的情形称为广义积分,又名反常积分.其中前者称为无穷限广义积分,或称无穷积分;后者称为无界函数的广义积分,或称瑕积分.在一些实际问题中,我们常遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分,它们已不属于前面我们所学习的定积分了.为此我们对定积分加以推广,也就是——广义积分.

无穷积分:积分区间为无穷区间的广义积分,设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续,取b>a.如果极限存在,则此极限叫作函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积分,此时也就是说广义积分收敛.

设函数f(x)定义在[a,+∞)上.设f(x)在任意区间[a,A](A>a)上可积,我们称极限为f(x)在[a,+∞)上的无穷积分.记作f(x)dx.类似可定义在[-∞,b]上的无穷积分f(x)dx.设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,如果广义积分f(x)dx和f(x)dx存在,则f(x)在(-∞,+∞)上广义积分定义为f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.

如果上述极限不存在,则说广义积分发散,此时虽然用同样的记号,但它已不表示数值了.类似地,设函数f(x)在区间(-∞,b]上连续,取a<b.如果极限存在,则此极限叫作函数f(x)在无穷区间(-∞,b]上的广义积分.

瑕积分:设函数f(x)定义在[a,b)上,而f(x)在x=b的任一左邻域内无界(此时称x=b为f(x)的瑕点).设f(x)在任意[a,b-ε](0<ε<b-a)上可积,我们称极限为f(x)在[a,b)上的瑕积分.记作f(x)dx.

类似可定义a为瑕点时的瑕积分.

又设c∈(a,b),函数f(x)以点c为瑕点,那么当两个反常积分f(x)dx和f(x)dx均收敛时,反常积分f(x)dx收敛.其值定义为f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.

这个过程中,就要理解什么是积分?什么是广义积分?积分还有哪种形式?积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念.通常分为定积分和不定积分两种.直观地说,对一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值).如果一个函数的积分存在,并且有限,就说这个函数是可积的.一般来说,被积函数不一定只有一个变量,积分域也可以是不同维度的空间,甚至是没有直观几何意义的抽象空间.如同上面介绍的,对只有一个变量x的实值函数f,f在闭区间[a,b]上的积分记作f(x)dx.其中的除了表示x是f中要进行积分的那个变量(积分变量)之外,还可以表示不同的含义.在黎曼积分中,表示分割区间的标记;在勒贝格积分中,表示一个测度;或仅仅表示一个独立的量(微分形式).一般的区间或者积分范围J,J上的积分可以记作如果变量不止一个,比如,在二重积分中,函数f(x,y)在区域D上的积分记作∬Df(x,y)dσ或者∬Df(x,y)dxdy,其中dσ与区域D对应,是相应积分域中的微分元.

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积.即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积.这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形.

不定积分即已知导数求原函数.若F′(x)=f(x),那么[F(x)+C]′=f(x)(C∈R,C为常数).也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数).所以,f(x)积分的结果有无数个,是不确定的.我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分.即如果一个导数有原函数,那么它就有无限多个原函数.

性质都包括哪些?

(1)当a=b时,f(x)dx=0.

(2)当a>b时,f(x)dx=-f(x)dx.

(3)常数可以提到积分号前.kf(x)dx=kf(x)dx.

(4)代数和的积分等于积分的代数和[f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx.

(5)定积分的可加性:如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b],则有f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.又由于性质2,若f(x)在区间D上可积,区间D中任意c(可以不在区间[a,b]上)满足条件.

(6)如果在区间[a,b]上,f(x)≥0,则f(x)dx≥0.

(7)积分中值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点ε在(a,b)内使f(x)dx=f(ε)(b-a).

常用的积分有,如果:(1)f(x)∈C([a,b]);(2)x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;(3)当α≤t≤β时,a≤ψ(t)≤b,且ψ(α)=a,ψ(β)=b,则f(x)dx=f(ψ(t))ψ′(t)dt.设u=u(x),v=v(x)均在区间[a,b]上可导,且u′,v′∈R([a,b]),则有分部积分公式:

(三)探究性的学习

在学习中,学生可以发挥自由想象,自己去探索或者设定问题,一方面,可以培养学生的自学能力及创新能力;另一方面,也可以为学生提供思维探究可能性.数学往往要求学生的逻辑思维能力较强,因而,对知识点的理解与剖析可以帮助学生去探索问题,将自主学习与发展探究紧密地结合,从而有利于学生学习高等数学知识.

例题 求定积分星形线x=acos3t,y=asin3t和圆x=acost,y=asint所围成的面积.

解答 面积星形线x=acos3t,y=asin3t,0≤t≤2.

[r(t)]2=[x(t)]2+[y(t)]2=a2(cost)6+a2(sint)6

=a2[(cost)2+(sint)2][(cost)4+(sint)4-(cost)2(sint)2]

=a2[1-3(cost)2(sint)2],

所以面积




将三角函数的知识点与定积分的知识点相结合,既可以帮助学生探究复习和巩固三角函数,又可以让学生加强对定积分的理解,从而更好地掌握定积分的知识点.且学生在学习过程中,教师要与学生一起回顾学习中所遇到的问题,引导学生反思学习过程中出现的问题,在不断的反思、学习、改进过程中,去完善学习体系,建立一个适合学生个体发展的高效率的学习计划.

在实际的教学中,高等数学虽然是一门要求逻辑思维能力较强的学科,但是通过培养学生的探索能力、发现问题的能力、解决问题的能力等,利用驱动式教学模式,来帮助学生分解教难的知识点,且通过联系以往所学知识点,及时地巩固学习.在建立以学生为教学主体的教学模式中,鼓励学生不断地探索、求知,继而发现学习数学的乐趣,逐渐地喜欢学习数学,进而提高学生学习的积极性,有利于学生更好地学习数学.



【基金项目】贵州省高等学校教学内容和课程体系改革项目“国考资格证背景下《中学数学教学论》课程改革研究与实践”.



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